Démonstration. Pour tout x ∈ R, on a
c n (f )e
n i ωx
=
c n (f )
, donc la série
c n (f )e
n i ωx
est absolument convergente. Posons
g(x) =
+∞
n=−∞
c n (f )e
n i ωx = S N (x) +
|n|N +1
c n (f )e
n i ωx , où S N (x) =
N
n=−N
c n (f )e
n i ωx .
La fonction g est périodique de période T . Puisque
c n (f )e
n i ωx
=
c n (f )
, on a
g(x)−S N (x)
|n|N +1
c n (f )
pour tout x ∈ R. Par hypothèse, la suite K N =
|n|N +1
c n (f )
tend vers
0, d’où
(∗)
quel que soit x ∈ R,
g(x) − S N (x)
K N , avec lim
N →+∞
K N = 0.
Montrons que g est continue en raisonnant comme pour les séries entières, page 536.
Étant donné ε > 0, choisissons N pour que K N < ε. Si x et y sont des nombres réels, on a
e
n i ωx
−e
n i ωy
2
sin
x−y
2
(proposition page 39), donc on peut rendre l’écart
S N (x)−S N (y)
moindre que ε à condition de choisir x et y assez proches. D’après l’inégalité (∗), l’écart
g(x)−g(y)
est alors moindre que
g(x)−S N (x)
+
S N (x)(x)−S N (y)
+
S N (y)−g(y)
3ε.
Pour un entier k donné et N |k|, on a S N · e k = c k (f ) par définition de S N et g · e k = c k (g).
Il vient
c k (g) − c k (f )
=
(g − S N ) · e k
g−S N e k = g−S N . D’après (∗), les fonctions
S N approchent g par valeurs sur R, donc la norme g−S N tend vers 0 quand N tend vers
+∞. Il s’ensuit c k (f ) = c k (g) : les fonctions f et g ont mêmes coefficients de Fourier. Comme
f et g sont continues, la proposition page 551 affirme que f (x) = g(x) quel que soit x.
Théorème. Si f est périodique de période T , continue et continûment dérivable par
morceaux, alors f (x) =
+∞
n=−∞ c n (f )e
n i ωx quel que soit x ∈ R.
Démonstration. Les coefficients de Fourier de f
sont c n (f
) = i nωc n (f ). D’après le
théorème de Bessel appliqué à la dérivée f
, la série
c n (f
)
2 est convergente, donc
aussi la série
nc n (f )
2 . Mais si u et v sont des nombres réels, on a 2|uv| u
2 + v
2 ,
car (u ± v)
2
0. Appliquons cette inégalité à u =
nc n (f )
et v = 1
n
, pour n = 0. Il vient
2
c n (f )
=2
nc n (f )
1
n
nc n (f )
2 + 1
n
2
. La série de terme général 1/n
2 est une série de Riemann
convergente et la somme de deux séries convergentes est convergente, donc, par le théorème de
comparaison page 528, la série
c n (f )
est convergente. D’après la proposition précédente,
quel que soit le réel x, f (x) est donc la somme de la série de terme général c n (f )e
n i ωx .
Exemple. Pour la fonction |sinx|, on a ainsi l’égalité | sin x| = 2
π
− 4
π
+∞
n=1
cos 2nx
4n
2 −1
quel que soit x∈R. En effet, la série de Fourier converge absolument, car |a n |∼(1/πn
2 )
et la série de Riemann de terme général 1/n
2 est convergente.
Effectivement, sur les figures de l’exemple 1 page 557, les approximations de Fourier
semblent bien tendre en tout point vers la fonction.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 561
c n (f )e
n i ωx
=
c n (f )
, donc la série
c n (f )e
n i ωx
est absolument convergente. Posons
g(x) =
+∞
n=−∞
c n (f )e
n i ωx = S N (x) +
|n|N +1
c n (f )e
n i ωx , où S N (x) =
N
n=−N
c n (f )e
n i ωx .
La fonction g est périodique de période T . Puisque
c n (f )e
n i ωx
=
c n (f )
, on a
g(x)−S N (x)
|n|N +1
c n (f )
pour tout x ∈ R. Par hypothèse, la suite K N =
|n|N +1
c n (f )
tend vers
0, d’où
(∗)
quel que soit x ∈ R,
g(x) − S N (x)
K N , avec lim
N →+∞
K N = 0.
Montrons que g est continue en raisonnant comme pour les séries entières, page 536.
Étant donné ε > 0, choisissons N pour que K N < ε. Si x et y sont des nombres réels, on a
e
n i ωx
−e
n i ωy
2
sin
x−y
2
(proposition page 39), donc on peut rendre l’écart
S N (x)−S N (y)
moindre que ε à condition de choisir x et y assez proches. D’après l’inégalité (∗), l’écart
g(x)−g(y)
est alors moindre que
g(x)−S N (x)
+
S N (x)(x)−S N (y)
+
S N (y)−g(y)
3ε.
Pour un entier k donné et N |k|, on a S N · e k = c k (f ) par définition de S N et g · e k = c k (g).
Il vient
c k (g) − c k (f )
=
(g − S N ) · e k
g−S N e k = g−S N . D’après (∗), les fonctions
S N approchent g par valeurs sur R, donc la norme g−S N tend vers 0 quand N tend vers
+∞. Il s’ensuit c k (f ) = c k (g) : les fonctions f et g ont mêmes coefficients de Fourier. Comme
f et g sont continues, la proposition page 551 affirme que f (x) = g(x) quel que soit x.
Théorème. Si f est périodique de période T , continue et continûment dérivable par
morceaux, alors f (x) =
+∞
n=−∞ c n (f )e
n i ωx quel que soit x ∈ R.
Démonstration. Les coefficients de Fourier de f
sont c n (f
) = i nωc n (f ). D’après le
théorème de Bessel appliqué à la dérivée f
, la série
c n (f
)
2 est convergente, donc
aussi la série
nc n (f )
2 . Mais si u et v sont des nombres réels, on a 2|uv| u
2 + v
2 ,
car (u ± v)
2
0. Appliquons cette inégalité à u =
nc n (f )
et v = 1
n
, pour n = 0. Il vient
2
c n (f )
=2
nc n (f )
1
n
nc n (f )
2 + 1
n
2
. La série de terme général 1/n
2 est une série de Riemann
convergente et la somme de deux séries convergentes est convergente, donc, par le théorème de
comparaison page 528, la série
c n (f )
est convergente. D’après la proposition précédente,
quel que soit le réel x, f (x) est donc la somme de la série de terme général c n (f )e
n i ωx .
Exemple. Pour la fonction |sinx|, on a ainsi l’égalité | sin x| = 2
π
− 4
π
+∞
n=1
cos 2nx
4n
2 −1
quel que soit x∈R. En effet, la série de Fourier converge absolument, car |a n |∼(1/πn
2 )
et la série de Riemann de terme général 1/n
2 est convergente.
Effectivement, sur les figures de l’exemple 1 page 557, les approximations de Fourier
semblent bien tendre en tout point vers la fonction.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 561