produit de convolution. Pour montrer (iii), écrivons
(f ∗ e n )(x) = 1
T
T
0
f (t)e
n i ω(x−t) dt = 1
T
T
0
e
n i ωx f (t)e
−n i ωt dt
=
1
T
T
0
f (t)e
−n i ωt dt
e
n i ωx = c n (f )e
n i ωx .
Supposons f ∗ g ∈ L
2
p
[0, T ]
. D’après (iii), on a alors
c n (f ∗ g)
e n = (f ∗ g) ∗ e n = f ∗ (g ∗ e n ) = f ∗
c n (g)e n
= c n (g) (f ∗ e n ) = c n (g)c n (f ) e n ,
en utilisant linéarité et associativité. Il s’ensuit c n (f ∗ g) = c n (f )c n (g) pour tout n.
Utilisation de la décomposition de Fourier
La décomposition de Fourier s’utilise comme un changement de référentiel, car de
nombreux calculs usuels sur les fonctions périodiques ont leur traduction au moyen
des coefficients de Fourier.
a) Si f est dérivable, dériver f se traduit en multipliant chaque c n (f ) par n i ω.
b) Si l’on décale un signal dans le temps d’une quantité a, cela se traduit, pour tout
n, par un déphasage de −nωa de son harmonique d’indice n :
si f a (x) = f (x−a), on a en effet c n (f a ) = e
−n i ωa c n (f ).
c) Convoler f avec g se traduit en multipliant c n (f ) par c n (g), à condition que les
produits c n (f )c n (g) forment une suite de carré sommable.
d) Calculer l’intégrale 1
T
T
0
f (t)
2 dt, ou l’intégrale 1
T
T
0
f (t)g(t) dt, revient à calculer
la somme
+∞
n=−∞
c n (f )
2 , ou la somme
+∞
n=−∞ c n (f )c n (g).
Décomposer un signal périodique en série de Fourier permet de le filtrer, c’est-à-dire
d’en éliminer les harmoniques de fréquences trop hautes ou trop basses. Les figures
ci-dessous montrent un filtrage où l’on élimine l’harmonique de plus haute fréquence.
signal à traiter
les harmoniques du signal
signal filtré
3.4 Convergence ponctuelle d'une série de Fourier
La convergence de la série de Fourier au sens de la norme dans l’espace V , ou dans l’espace L
2
p
[0,T ]
, n’implique pas que, pour un nombre réel x donné, la série numérique
des c n (f )e
n i ωx est convergente. Voici des conditions suffisantes pour que cela soit vrai.
Proposition. Soit f une fonction continue et périodique de période T . Si la série
c n (f )
est convergente, alors pour tout x ∈ R, on a l’égalité f (x) =
+∞
n=−∞ c n (f )e
n i ωx .
560 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER
(f ∗ e n )(x) = 1
T
T
0
f (t)e
n i ω(x−t) dt = 1
T
T
0
e
n i ωx f (t)e
−n i ωt dt
=
1
T
T
0
f (t)e
−n i ωt dt
e
n i ωx = c n (f )e
n i ωx .
Supposons f ∗ g ∈ L
2
p
[0, T ]
. D’après (iii), on a alors
c n (f ∗ g)
e n = (f ∗ g) ∗ e n = f ∗ (g ∗ e n ) = f ∗
c n (g)e n
= c n (g) (f ∗ e n ) = c n (g)c n (f ) e n ,
en utilisant linéarité et associativité. Il s’ensuit c n (f ∗ g) = c n (f )c n (g) pour tout n.
Utilisation de la décomposition de Fourier
La décomposition de Fourier s’utilise comme un changement de référentiel, car de
nombreux calculs usuels sur les fonctions périodiques ont leur traduction au moyen
des coefficients de Fourier.
a) Si f est dérivable, dériver f se traduit en multipliant chaque c n (f ) par n i ω.
b) Si l’on décale un signal dans le temps d’une quantité a, cela se traduit, pour tout
n, par un déphasage de −nωa de son harmonique d’indice n :
si f a (x) = f (x−a), on a en effet c n (f a ) = e
−n i ωa c n (f ).
c) Convoler f avec g se traduit en multipliant c n (f ) par c n (g), à condition que les
produits c n (f )c n (g) forment une suite de carré sommable.
d) Calculer l’intégrale 1
T
T
0
f (t)
2 dt, ou l’intégrale 1
T
T
0
f (t)g(t) dt, revient à calculer
la somme
+∞
n=−∞
c n (f )
2 , ou la somme
+∞
n=−∞ c n (f )c n (g).
Décomposer un signal périodique en série de Fourier permet de le filtrer, c’est-à-dire
d’en éliminer les harmoniques de fréquences trop hautes ou trop basses. Les figures
ci-dessous montrent un filtrage où l’on élimine l’harmonique de plus haute fréquence.
signal à traiter
les harmoniques du signal
signal filtré
3.4 Convergence ponctuelle d'une série de Fourier
La convergence de la série de Fourier au sens de la norme dans l’espace V , ou dans l’espace L
2
p
[0,T ]
, n’implique pas que, pour un nombre réel x donné, la série numérique
des c n (f )e
n i ωx est convergente. Voici des conditions suffisantes pour que cela soit vrai.
Proposition. Soit f une fonction continue et périodique de période T . Si la série
c n (f )
est convergente, alors pour tout x ∈ R, on a l’égalité f (x) =
+∞
n=−∞ c n (f )e
n i ωx .
560 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER