1/n. Il en va de même de a n et b n dont la valeur absolue est majorée par 2|c n |.
Supposons que f a une dérivée k-ième continue (k 2). On a alors c n (f
) = i nωc n (f
) =
(inω)
2 c n (f ) et de proche en proche, il vient c n (f
(k) )=(inω)
k c n (f ). On sait que ω
k n
k
c n (f )
=
c n (f
(k) )
tend vers 0 quand |n| tend vers +∞, par conséquent
c n (f )
= o(1/n
k ).
Exemple. Pour la fonction f (x) =
sin x
qui est continue et continûment dérivable
par morceaux, la série de Fourier est 2
π
− 4
π
+∞
n=1
cos 2nx
4n
2 −1
(exemple 1 page 557). On a
a n = − 4
π
1
4n
2 −1
et quand n tend vers l’infini, |a n | ∼ 1
πn
2
est négligeable devant 1/n.
Produit de convolution
Définition
Si f et g sont des fonctions appartenant à L
2
p
[0, T ]
, leur produit de convolution
f ∗ g est la fonction définie par (f ∗ g)(x) = 1
T
T
0
f (t)g(x−t) dt, pour tout x ∈ R.
C’est encore l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui assure que le produit de convolution est
bien défini. Comparer cette définition avec celle donnée page 409 pour des fonctions
non périodiques.
Propriétés
i) Le produit de convolution est symétrique et bilinéaire : f ∗g=g∗f , f ∗(g+h)=(f ∗g)+(f ∗h)
et f ∗ (λg) = λ(f ∗ g).
ii) On a (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) (associativité du produit de convolution).
iii) f ∗ e n = c n (f )e n , pour tout n ∈ Z.
iv) Si f ∗ g est de carré intégrable sur [0, T ], alors F (f ∗ g) =
c n (f )c n (g)
n∈Z
.
Démonstration. La bilinéarité résulte des propriétés de l’intégrale et la symétrie s’obtient
en faisant le changement de variable u = x−t. On a (f ∗ g)(t) = 1
T
T
0
f (s)g(t−s) ds, d’où
(f ∗ g) ∗ h
(x) = 1
T
2
T
0
T
0
f (s)g(t−s) ds
h(x−t) dt
= 1
T
2
T
0
f (s)
T
0
g(t−s)h(x−t) dt
ds
= 1
T
2
T
0
f (s)
T −s
−s
g(u)h(x−s−u) du
ds en posant t = s+u
= 1
T
2
T
0
f (s)
T
0
g(u)h(x−s−u) du
ds ,
car l’intégrale de 0 à T d’une fonction périodique de période T s’obtient en intégrant sur
n’importe quel segment de longueur T . Puisque (g ∗ h)(x−s) = 1
T
T
0
g(u)h(x−s−u) du, la
dernière expression est 1
T
T
0
f (s)
(g ∗ h)(x−s)
ds =
f ∗ (g ∗ h)
(x), d’où l’associativité du
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 559
Supposons que f a une dérivée k-ième continue (k 2). On a alors c n (f
) = i nωc n (f
) =
(inω)
2 c n (f ) et de proche en proche, il vient c n (f
(k) )=(inω)
k c n (f ). On sait que ω
k n
k
c n (f )
=
c n (f
(k) )
tend vers 0 quand |n| tend vers +∞, par conséquent
c n (f )
= o(1/n
k ).
Exemple. Pour la fonction f (x) =
sin x
qui est continue et continûment dérivable
par morceaux, la série de Fourier est 2
π
− 4
π
+∞
n=1
cos 2nx
4n
2 −1
(exemple 1 page 557). On a
a n = − 4
π
1
4n
2 −1
et quand n tend vers l’infini, |a n | ∼ 1
πn
2
est négligeable devant 1/n.
Produit de convolution
Définition
Si f et g sont des fonctions appartenant à L
2
p
[0, T ]
, leur produit de convolution
f ∗ g est la fonction définie par (f ∗ g)(x) = 1
T
T
0
f (t)g(x−t) dt, pour tout x ∈ R.
C’est encore l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui assure que le produit de convolution est
bien défini. Comparer cette définition avec celle donnée page 409 pour des fonctions
non périodiques.
Propriétés
i) Le produit de convolution est symétrique et bilinéaire : f ∗g=g∗f , f ∗(g+h)=(f ∗g)+(f ∗h)
et f ∗ (λg) = λ(f ∗ g).
ii) On a (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) (associativité du produit de convolution).
iii) f ∗ e n = c n (f )e n , pour tout n ∈ Z.
iv) Si f ∗ g est de carré intégrable sur [0, T ], alors F (f ∗ g) =
c n (f )c n (g)
n∈Z
.
Démonstration. La bilinéarité résulte des propriétés de l’intégrale et la symétrie s’obtient
en faisant le changement de variable u = x−t. On a (f ∗ g)(t) = 1
T
T
0
f (s)g(t−s) ds, d’où
(f ∗ g) ∗ h
(x) = 1
T
2
T
0
T
0
f (s)g(t−s) ds
h(x−t) dt
= 1
T
2
T
0
f (s)
T
0
g(t−s)h(x−t) dt
ds
= 1
T
2
T
0
f (s)
T −s
−s
g(u)h(x−s−u) du
ds en posant t = s+u
= 1
T
2
T
0
f (s)
T
0
g(u)h(x−s−u) du
ds ,
car l’intégrale de 0 à T d’une fonction périodique de période T s’obtient en intégrant sur
n’importe quel segment de longueur T . Puisque (g ∗ h)(x−s) = 1
T
T
0
g(u)h(x−s−u) du, la
dernière expression est 1
T
T
0
f (s)
(g ∗ h)(x−s)
ds =
f ∗ (g ∗ h)
(x), d’où l’associativité du
Chapitre 17 – S ´
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