Dérivation et décomposition de Fourier
On rencontre souvent des fonctions qui, sur [0, T ], sont dérivables sauf peut-être en
un nombre fini de points. Si de plus la dérivée est continue et bornée sur les intervalles ouverts où elle est définie, on dit que f est continûment dérivable par morceaux.
Puisque nous supposons que la dérivée est bornée, f
est de carré intégrable sur [0,T ].
Voici des exemples de fonctions continûment dérivables par morceaux.
1)
x
f
π
1
Pour la fonction f (x) = | sin x|, on a f
(x) = cos x
si x ∈]0, π[, mais aux points 0, ±π, . . . , ±kπ . . ., f
n’est pas dérivable : il y a deux demi-tangentes de
pentes 1 et −1. La fonction f est continue, périodique de période π et continûment
dérivable par morceaux.
2)
x
π
g
−π
La fonction périodique de période 2π définie en
posant g(x) = x pour tout x ∈]−π, π] n’est pas continue en π, non plus qu’aux points π + 2kπ, où
k ∈ Z. Néanmoins, la fonction g est continûment dérivable par morceaux, car pour
−π < x < π, la dérivée g
(x) = 1 est continue.
Proposition. Si f est une fonction périodique de période T , continue et continûment
dérivable par morceaux, alors c n (f
) = i nω c n (f ).
Démonstration. Supposons par exemple que f a une dérivée continue sur ]0, a[ et sur
]a, T [, où a est un nombre tel que 0 < a < T . En intégrant par parties, il vient
a
0
f
(t)e
−n i ωt dt =
f (x)e
−n i ωx
a
0
+ n i ω
a
0
f (t)e
−n i ωt dt
T
a
f
(t)e
−n i ωt dt =
f (x)e
−n i ωx
T
a
+ n i ω
T
a
f (t)e
−n i ωt dt .
Ajoutons ces deux expressions. La somme des crochets est
f (x)e
−n i ωx
T
0
, car f est continue en a, et puisque f (x)e
−n i ωx a pour période T , on a
f (x)e
−n i ωx
T
0
= 0. Il vient ainsi
l’égalité
T
0
f
(t)e
−n i ωt dt = n i ω
T
0
f (t)e
−n i ωt dt, d’où c n (f
) = n i ωc n (f ).
Conséquences. Soit f une fonction périodique.
® Si f est continue et continûment dérivable par morceaux, ses coefficients a n , b n et c n
sont négligeables devant 1/n.
® Si f possède une dérivée f
(k) continue sur R, ses coefficients a n , b n et c n sont
négligeables devant 1/n
k .
Plus une fonction périodique est dérivable, plus vite ses
coefficients de Fourier tendent vers 0.
Démonstration. Si f est continue et continûment dérivable par morceaux, alors d’après la
proposition, on a
c n (f
)
=
i nω c n (f )
= ωn
c n (f )
. Puisque c n (f
) tend vers 0 quand |n|
tend vers +∞, il vient lim
|n|→+∞
n
c n (f )
= 0 : cela montre que c n (f ) est négligeable devant
558 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER
On rencontre souvent des fonctions qui, sur [0, T ], sont dérivables sauf peut-être en
un nombre fini de points. Si de plus la dérivée est continue et bornée sur les intervalles ouverts où elle est définie, on dit que f est continûment dérivable par morceaux.
Puisque nous supposons que la dérivée est bornée, f
est de carré intégrable sur [0,T ].
Voici des exemples de fonctions continûment dérivables par morceaux.
1)
x
f
π
1
Pour la fonction f (x) = | sin x|, on a f
(x) = cos x
si x ∈]0, π[, mais aux points 0, ±π, . . . , ±kπ . . ., f
n’est pas dérivable : il y a deux demi-tangentes de
pentes 1 et −1. La fonction f est continue, périodique de période π et continûment
dérivable par morceaux.
2)
x
π
g
−π
La fonction périodique de période 2π définie en
posant g(x) = x pour tout x ∈]−π, π] n’est pas continue en π, non plus qu’aux points π + 2kπ, où
k ∈ Z. Néanmoins, la fonction g est continûment dérivable par morceaux, car pour
−π < x < π, la dérivée g
(x) = 1 est continue.
Proposition. Si f est une fonction périodique de période T , continue et continûment
dérivable par morceaux, alors c n (f
) = i nω c n (f ).
Démonstration. Supposons par exemple que f a une dérivée continue sur ]0, a[ et sur
]a, T [, où a est un nombre tel que 0 < a < T . En intégrant par parties, il vient
a
0
f
(t)e
−n i ωt dt =
f (x)e
−n i ωx
a
0
+ n i ω
a
0
f (t)e
−n i ωt dt
T
a
f
(t)e
−n i ωt dt =
f (x)e
−n i ωx
T
a
+ n i ω
T
a
f (t)e
−n i ωt dt .
Ajoutons ces deux expressions. La somme des crochets est
f (x)e
−n i ωx
T
0
, car f est continue en a, et puisque f (x)e
−n i ωx a pour période T , on a
f (x)e
−n i ωx
T
0
= 0. Il vient ainsi
l’égalité
T
0
f
(t)e
−n i ωt dt = n i ω
T
0
f (t)e
−n i ωt dt, d’où c n (f
) = n i ωc n (f ).
Conséquences. Soit f une fonction périodique.
® Si f est continue et continûment dérivable par morceaux, ses coefficients a n , b n et c n
sont négligeables devant 1/n.
® Si f possède une dérivée f
(k) continue sur R, ses coefficients a n , b n et c n sont
négligeables devant 1/n
k .
Plus une fonction périodique est dérivable, plus vite ses
coefficients de Fourier tendent vers 0.
Démonstration. Si f est continue et continûment dérivable par morceaux, alors d’après la
proposition, on a
c n (f
)
=
i nω c n (f )
= ωn
c n (f )
. Puisque c n (f
) tend vers 0 quand |n|
tend vers +∞, il vient lim
|n|→+∞
n
c n (f )
= 0 : cela montre que c n (f ) est négligeable devant
558 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER