Exemple 1 : approximation d'un courant redressé. La fonction f (x)=|sinx|
a pour série de Fourier 2
π
− 4
π
+∞
n=1
cos 2nx
4n
2 −1
(exemple page 551). Sur les figures
ci-dessous, on a représenté le graphe de f et celui des deux premières approximations
s 1 (x) = 2
π
− 4
π
cos 2x
3
et s 2 (x) = 2
π
− 4
π
cos 2x
3
+ cos 4x
15
.
Remarquons que ces approximations sont très bonnes, bien que, en valeurs, elles
le soient un peu moins au voisinage des points kπ où le graphe présente deux
demi-tangentes de pentes différentes.
x
π
x
π
x
π
f (x)
s 1 (x)
s 2 (x)
Quand on redresse un courant alternatif de fréquence ν , on obtient pour la tension une
fonction du temps de la forme V (t) = V max
sin(2πνt+ϕ)
. Les premiers termes de la
série de Fourier permettent ainsi d’approcher V par des polynômes trigonométriques
de fréquences ν, 2ν, 3ν, . . .
Représentation spectrale. Commençons par centrer le signal f (x)=|sinx| précédent autour de sa moyenne en considérant f c (x)=f (x)− 2
π
qui est de moyenne nulle.
0,4
0,3
0,2
0
0
1
2
,1
ν
a
Puisque f c est de période π, sa fréquence est ν 0 = 1/π.
Considérons un axe des fréquences et pour chacune des abscisses ν 0 , 2ν 0 , . . . , kν 0 , . . ., plaçons en ordonnée l’amplitude
|a k |. On a ainsi |a 1 | = 4
3π
, |a 2 | = 4
15π
et |a n | =
4
(4n
2 −1)π
.
Le graphique obtenu est une décomposition en fréquences du
signal f c (figure ci-contre).
Pour l’abscisse ν = kν 0 , il vient k = πν : les points sont donc
sur la courbe d’équation a = 4
π
1
4π
2 ν
2 −1
, où a est l’amplitude.
Exemple 2. Reprenons la fonction périodique de période 2π définie en posant g(x)=
x pour tout x∈]−π,π]. D’après les calculs faits dans l’exemple page 555, sa série de Fourier est 2
+∞
n=1 (−1)
n+1 sin nx
n
. Voici les graphes de g et des approximations en moyenne
s 3 (x) = 2
3
n=1
(−1)
n+1 sin nx
n
et s 8 (x) = 2
8
n=1
(−1)
n+1 sin nx
n
.
x
x
s 3 (x)
s 8 (x)
Puisque la fonction est discontinue aux points π+2kπ, l’approximation en valeurs y
est nécessairement mauvaise. Remarquons aussi que sur de petits intervalles comme
]π−h, π[ et ]π, π+h[, l’approximation se dégrade : c’est un phénomène courant.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 557
a pour série de Fourier 2
π
− 4
π
+∞
n=1
cos 2nx
4n
2 −1
(exemple page 551). Sur les figures
ci-dessous, on a représenté le graphe de f et celui des deux premières approximations
s 1 (x) = 2
π
− 4
π
cos 2x
3
et s 2 (x) = 2
π
− 4
π
cos 2x
3
+ cos 4x
15
.
Remarquons que ces approximations sont très bonnes, bien que, en valeurs, elles
le soient un peu moins au voisinage des points kπ où le graphe présente deux
demi-tangentes de pentes différentes.
x
π
x
π
x
π
f (x)
s 1 (x)
s 2 (x)
Quand on redresse un courant alternatif de fréquence ν , on obtient pour la tension une
fonction du temps de la forme V (t) = V max
sin(2πνt+ϕ)
. Les premiers termes de la
série de Fourier permettent ainsi d’approcher V par des polynômes trigonométriques
de fréquences ν, 2ν, 3ν, . . .
Représentation spectrale. Commençons par centrer le signal f (x)=|sinx| précédent autour de sa moyenne en considérant f c (x)=f (x)− 2
π
qui est de moyenne nulle.
0,4
0,3
0,2
0
0
1
2
,1
ν
a
Puisque f c est de période π, sa fréquence est ν 0 = 1/π.
Considérons un axe des fréquences et pour chacune des abscisses ν 0 , 2ν 0 , . . . , kν 0 , . . ., plaçons en ordonnée l’amplitude
|a k |. On a ainsi |a 1 | = 4
3π
, |a 2 | = 4
15π
et |a n | =
4
(4n
2 −1)π
.
Le graphique obtenu est une décomposition en fréquences du
signal f c (figure ci-contre).
Pour l’abscisse ν = kν 0 , il vient k = πν : les points sont donc
sur la courbe d’équation a = 4
π
1
4π
2 ν
2 −1
, où a est l’amplitude.
Exemple 2. Reprenons la fonction périodique de période 2π définie en posant g(x)=
x pour tout x∈]−π,π]. D’après les calculs faits dans l’exemple page 555, sa série de Fourier est 2
+∞
n=1 (−1)
n+1 sin nx
n
. Voici les graphes de g et des approximations en moyenne
s 3 (x) = 2
3
n=1
(−1)
n+1 sin nx
n
et s 8 (x) = 2
8
n=1
(−1)
n+1 sin nx
n
.
x
x
s 3 (x)
s 8 (x)
Puisque la fonction est discontinue aux points π+2kπ, l’approximation en valeurs y
est nécessairement mauvaise. Remarquons aussi que sur de petits intervalles comme
]π−h, π[ et ]π, π+h[, l’approximation se dégrade : c’est un phénomène courant.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 557