que f − P N tend vers 0, où les P N sont les polynômes trigonométriques
N
n=−N a n e
n i ωx .
Soit n un entier tel que |n| N . On a P N · e n = a n , car les e k sont deux à deux orthogonaux et
de norme 1. Par suite
c n (f )−a n
=
f ·e n −P N ·e n
=
(f −P N )·e n
f −P N e n = f −P N .
Quand N tend vers +∞, le membre de droite tend vers 0, donc
c n (f )− a n
= 0 et c n (f ) = a n .
On a ainsi F (f ) = (a n ) n∈Z : tout élément de
2 est donc la décomposition de Fourier d’une
fonction de L
2
p
[0, T ]
.
Par décomposition de Fourier, un signal périodique f de carré intégrable se code
en une suite
c n (f )
n∈Z
de carré sommable.
Le code caractérise parfaitement le signal et de plus, toute suite (α n ) n∈Z de carré
sommable est le code d’un unique signal périodique.
3.3 Propriétés de la décomposition de Fourier
Notation : Pour toute suite (α n ) n∈Z de carré sommable, on note
+∞
n=−∞ α n e n la
fonction de L
2
p
[0, T ]
ayant pour coefficients de Fourier les α n , c’est-à-dire la fonction f telle que F (f ) = (α n ) n∈Z .
D’après le théorème précédent, on a donc
f =
+∞
n=−∞
c n (f )e n , pour tout f ∈ L
2
p
[0, T ]
.
Cette notation fait apparaître f comme la somme, dans l’espace L
2
p
[0, T ]
, de la
série
c n (f )e n .
Définitions
La série
c n (f )e n s’appelle la série de Fourier de f .
Les fonctions c n (f )e n (x) = c n (f )e
n i
2π
T
x , qu’on appelle les harmoniques de f , constituent la décomposition spectrale de f .
® Le coefficient c 0 = (1/T )
T
0
f (t) dt est la moyenne de f sur une période.
® L’harmonique c n e
i 2πnx/T est de période T /n, donc de fréquence n fois la fréquence
1/T de f . Son amplitude est |c n |.
® Dans L
2
p
[0, T ]
, l’égalité f =
+∞
n=−∞ c n e n signifie qu’en tenant compte d’un
nombre suffisant d’harmoniques, on peut approcher le signal f par une somme
finie S N =
N
n=−N c n e n de manière que sur chaque période, f −S N soit d’énergie
aussi petite qu’on veut.
® Si la fonction f est à valeurs réelles, elle est égale dans L
2
p
[0, T ]
à
a 0
2
+
+∞
n=1
a n cos nωx + b n sin nωx
.
La fonction a 1 cos ωx + b 1 sin ωx, de période T , est l’harmonique principal de f .
556 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER
N
n=−N a n e
n i ωx .
Soit n un entier tel que |n| N . On a P N · e n = a n , car les e k sont deux à deux orthogonaux et
de norme 1. Par suite
c n (f )−a n
=
f ·e n −P N ·e n
=
(f −P N )·e n
f −P N e n = f −P N .
Quand N tend vers +∞, le membre de droite tend vers 0, donc
c n (f )− a n
= 0 et c n (f ) = a n .
On a ainsi F (f ) = (a n ) n∈Z : tout élément de
2 est donc la décomposition de Fourier d’une
fonction de L
2
p
[0, T ]
.
Par décomposition de Fourier, un signal périodique f de carré intégrable se code
en une suite
c n (f )
n∈Z
de carré sommable.
Le code caractérise parfaitement le signal et de plus, toute suite (α n ) n∈Z de carré
sommable est le code d’un unique signal périodique.
3.3 Propriétés de la décomposition de Fourier
Notation : Pour toute suite (α n ) n∈Z de carré sommable, on note
+∞
n=−∞ α n e n la
fonction de L
2
p
[0, T ]
ayant pour coefficients de Fourier les α n , c’est-à-dire la fonction f telle que F (f ) = (α n ) n∈Z .
D’après le théorème précédent, on a donc
f =
+∞
n=−∞
c n (f )e n , pour tout f ∈ L
2
p
[0, T ]
.
Cette notation fait apparaître f comme la somme, dans l’espace L
2
p
[0, T ]
, de la
série
c n (f )e n .
Définitions
La série
c n (f )e n s’appelle la série de Fourier de f .
Les fonctions c n (f )e n (x) = c n (f )e
n i
2π
T
x , qu’on appelle les harmoniques de f , constituent la décomposition spectrale de f .
® Le coefficient c 0 = (1/T )
T
0
f (t) dt est la moyenne de f sur une période.
® L’harmonique c n e
i 2πnx/T est de période T /n, donc de fréquence n fois la fréquence
1/T de f . Son amplitude est |c n |.
® Dans L
2
p
[0, T ]
, l’égalité f =
+∞
n=−∞ c n e n signifie qu’en tenant compte d’un
nombre suffisant d’harmoniques, on peut approcher le signal f par une somme
finie S N =
N
n=−N c n e n de manière que sur chaque période, f −S N soit d’énergie
aussi petite qu’on veut.
® Si la fonction f est à valeurs réelles, elle est égale dans L
2
p
[0, T ]
à
a 0
2
+
+∞
n=1
a n cos nωx + b n sin nωx
.
La fonction a 1 cos ωx + b 1 sin ωx, de période T , est l’harmonique principal de f .
556 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER