f −P 2ε. Pour des valeurs ε petites, les polynômes P ainsi construits approchent
f en moyenne quadratique.
Proposition. Si f et g appartiennent à L
2
p
[0, T ]
et si c n (f ) = c n (g) quel que soit
n, alors f = g dans L
2
p
[0, T ]
.
En effet, si c n (f ) = c n (g) quel que soit n, alors c n (f −g) = c n (f )−c n (g) = 0, donc
f − g = 0 d’après l’égalité de Bessel. Par suite f = g dans L
2
p
[0, T ]
.
Exemple.
x
π
g
−π
Soit g la fonction périodique de période
2π définie en posant g(x)=x pour −π
a n sont tous nuls. On a b n = 2
2π
π
−π
t sin nt dt et
π
−π
t sin nt dt =
−1
n
t cos nt
π
−π
+ 1
n
π
−π
cos nt dt
=
−1
n
2(−1)
n π
=
(−1)
n+1
n
2π car la dernière intégrale est nulle,
donc b n = 2
(−1)
n+1
n
. Explicitons l’égalité de Bessel 1
π
π
−π
g(t)
2 dt =
+∞
n=1 b
2
n . On a
1
π
π
−π
t
2 dt = 1
π
2π
3
3
= 2π
2
3
et b
2
n = 4
n
2
, d’où l’égalité
+∞
n=1
1
n
2
= π
2
6
.
La décomposition de Fourier
Définition
Une famille (α n ) n∈Z de nombre complexes est dite de carré sommable si la série
|α n |
2 est convergente. Ces suites constituent un espace vectoriel noté
2 .
Si f ∈ L
2
p
[0,T ]
, la série
c n (f )
2 est convergente, donc
c n (f )
n∈Z
est un élément
de
2 .
Définition
La décomposition de Fourier est l’application F : L
2
p
[0, T ]
→
2 qui à f associe
c n (f )
n∈Z
.
Dans ce cadre plus général, on a le résultat suivant.
Théorème. La décomposition de Fourier F : L
2
p
[0, T ]
→
2 est une bijection linéaire.
Justification. Puisque chaque coefficient de Fourier c n dépend linéairement de la fonction,
l’application F est linéaire. Si F (f ) = F (g), alors c n (f ) = c n (g) que que soit n et d’après
la proposition précédente, on a f = g dans L
2
p [0, T ] : par la décomposition de Fourier, tout
élément de
2 a donc au plus un antécédent.
Admettons que si (a n ) n∈Z est un élément donné de
2 , il y a une fonction f ∈ L
2
p
[0, T ]
telle
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 555
f en moyenne quadratique.
Proposition. Si f et g appartiennent à L
2
p
[0, T ]
et si c n (f ) = c n (g) quel que soit
n, alors f = g dans L
2
p
[0, T ]
.
En effet, si c n (f ) = c n (g) quel que soit n, alors c n (f −g) = c n (f )−c n (g) = 0, donc
f − g = 0 d’après l’égalité de Bessel. Par suite f = g dans L
2
p
[0, T ]
.
Exemple.
x
π
g
−π
Soit g la fonction périodique de période
2π définie en posant g(x)=x pour −π
a n sont tous nuls. On a b n = 2
2π
π
−π
t sin nt dt et
π
−π
t sin nt dt =
−1
n
t cos nt
π
−π
+ 1
n
π
−π
cos nt dt
=
−1
n
2(−1)
n π
=
(−1)
n+1
n
2π car la dernière intégrale est nulle,
donc b n = 2
(−1)
n+1
n
. Explicitons l’égalité de Bessel 1
π
π
−π
g(t)
2 dt =
+∞
n=1 b
2
n . On a
1
π
π
−π
t
2 dt = 1
π
2π
3
3
= 2π
2
3
et b
2
n = 4
n
2
, d’où l’égalité
+∞
n=1
1
n
2
= π
2
6
.
La décomposition de Fourier
Définition
Une famille (α n ) n∈Z de nombre complexes est dite de carré sommable si la série
|α n |
2 est convergente. Ces suites constituent un espace vectoriel noté
2 .
Si f ∈ L
2
p
[0,T ]
, la série
c n (f )
2 est convergente, donc
c n (f )
n∈Z
est un élément
de
2 .
Définition
La décomposition de Fourier est l’application F : L
2
p
[0, T ]
→
2 qui à f associe
c n (f )
n∈Z
.
Dans ce cadre plus général, on a le résultat suivant.
Théorème. La décomposition de Fourier F : L
2
p
[0, T ]
→
2 est une bijection linéaire.
Justification. Puisque chaque coefficient de Fourier c n dépend linéairement de la fonction,
l’application F est linéaire. Si F (f ) = F (g), alors c n (f ) = c n (g) que que soit n et d’après
la proposition précédente, on a f = g dans L
2
p [0, T ] : par la décomposition de Fourier, tout
élément de
2 a donc au plus un antécédent.
Admettons que si (a n ) n∈Z est un élément donné de
2 , il y a une fonction f ∈ L
2
p
[0, T ]
telle
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 555