exemple un ensemble fini ou l’ensemble des points d’une suite. Ainsi, dans un espace contenant des fonctions discontinues, l’intégrale
T
0
u(t)
2 dt ne constitue plus une norme.
Convention : Dans l’espace L
2
[0, T ]
, convenons de considérer comme identiques
des fonctions u et v telles que
T
0
u(t)−v(t)
2 dt = 0.
Cette égalité dans L
2
[0,T ]
s’écrit simplement u=v, bien qu’on ait seulement u(x)=v(x)
presque partout. Mais si l’on veut exprimer que les fonctions u et v prennent les mêmes
valeurs en tout point de [0, T ], c’est-à-dire sont égales au sens habituel, on écrira :
u(x) = v(x) quel que soit x ∈ [0, T ].
Notation : L’ensemble des fonctions périodiques de période T et de carré intégrable
sur [0, T ] se note L
2
p
[0, T ]
. Pour f et g dans L
2
p
[0, T ]
,
® le produit scalaire f · g = 1
T
T
0
f (t)g(t) dt est bien défini
® et f = (f · f )
1/2 est une norme sur L
2
p
[0, T ]
.
Exemple.
x
1
la fonction f
Considérons la fonction u définie sur [0, 1[
par
u(x) =
3(e
x
2 −1) si 0 x < 1/2
(3−2x)/4 si 1/2 < x < 1
.
Bien que u ne soit pas continue en 1/2, elle l’est sur chacun des intervalles ]0, 1/2[
et ]1/2, 1[, donc u ∈ L
2
[0, 1]
. Étendons u par périodicité en une fonction f de
période 1 : alors f appartient à l’espace L
2
p
[0, 1]
.
Théorème. Les propriétés énoncées dans le théorème de Bessel sont encore vraies pour
les fonctions f périodiques et de carré intégrable sur [0, T ].
Ce qui compte en effet dans la démonstration, c’est la possibilité pour tout ε > 0 donné,
de trouver un polynôme trigonométrique P tel que f −P < ε, c’est-à-dire d’approcher
f en moyenne quadratique par des polynômes trigonométriques.
x
a
T
f
f
g
r
Expliquons comment réaliser cette approximation lorsque f
appartient à L
2
[0, 1]
. Prenons par exemple la fonction f
dont le graphe a l’allure ci-contre (dessinée en trait plein), avec
une discontinuité en a. Modifions f sur un petit intervalle
de longueur r autour du point de discontinuité, en considérant la fonction continue g qui emprunte le segment de droite en pointillés : comme f et
g ne diffèrent que sur un intervalle de longueur r, l’intégrale 1
T
T
0
f (t)−g(t)
2 dt peut
être rendue inférieure à ε
2 à condition de prendre r assez petit : on a alors f −g < ε.
Puisque g est continue, il y a un polynôme trigonométrique P tel que
g(x)−P (x)
< ε
pour tout x ∈ [0, T ], ce qui entraîne g−P =
1
T
T
0
g(t)−P (t)
2 dt
1/2
< ε. Comme
f −P = (f −g) + (g−P ), on a l’inégalité triangulaire f −P f −g + g−P , d’où
554 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER
T
0
u(t)
2 dt ne constitue plus une norme.
Convention : Dans l’espace L
2
[0, T ]
, convenons de considérer comme identiques
des fonctions u et v telles que
T
0
u(t)−v(t)
2 dt = 0.
Cette égalité dans L
2
[0,T ]
s’écrit simplement u=v, bien qu’on ait seulement u(x)=v(x)
presque partout. Mais si l’on veut exprimer que les fonctions u et v prennent les mêmes
valeurs en tout point de [0, T ], c’est-à-dire sont égales au sens habituel, on écrira :
u(x) = v(x) quel que soit x ∈ [0, T ].
Notation : L’ensemble des fonctions périodiques de période T et de carré intégrable
sur [0, T ] se note L
2
p
[0, T ]
. Pour f et g dans L
2
p
[0, T ]
,
® le produit scalaire f · g = 1
T
T
0
f (t)g(t) dt est bien défini
® et f = (f · f )
1/2 est une norme sur L
2
p
[0, T ]
.
Exemple.
x
1
la fonction f
Considérons la fonction u définie sur [0, 1[
par
u(x) =
3(e
x
2 −1) si 0 x < 1/2
(3−2x)/4 si 1/2 < x < 1
.
Bien que u ne soit pas continue en 1/2, elle l’est sur chacun des intervalles ]0, 1/2[
et ]1/2, 1[, donc u ∈ L
2
[0, 1]
. Étendons u par périodicité en une fonction f de
période 1 : alors f appartient à l’espace L
2
p
[0, 1]
.
Théorème. Les propriétés énoncées dans le théorème de Bessel sont encore vraies pour
les fonctions f périodiques et de carré intégrable sur [0, T ].
Ce qui compte en effet dans la démonstration, c’est la possibilité pour tout ε > 0 donné,
de trouver un polynôme trigonométrique P tel que f −P < ε, c’est-à-dire d’approcher
f en moyenne quadratique par des polynômes trigonométriques.
x
a
T
f
f
g
r
Expliquons comment réaliser cette approximation lorsque f
appartient à L
2
[0, 1]
. Prenons par exemple la fonction f
dont le graphe a l’allure ci-contre (dessinée en trait plein), avec
une discontinuité en a. Modifions f sur un petit intervalle
de longueur r autour du point de discontinuité, en considérant la fonction continue g qui emprunte le segment de droite en pointillés : comme f et
g ne diffèrent que sur un intervalle de longueur r, l’intégrale 1
T
T
0
f (t)−g(t)
2 dt peut
être rendue inférieure à ε
2 à condition de prendre r assez petit : on a alors f −g < ε.
Puisque g est continue, il y a un polynôme trigonométrique P tel que
g(x)−P (x)
< ε
pour tout x ∈ [0, T ], ce qui entraîne g−P =
1
T
T
0
g(t)−P (t)
2 dt
1/2
< ε. Comme
f −P = (f −g) + (g−P ), on a l’inégalité triangulaire f −P f −g + g−P , d’où
554 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER