Illustrons les deux types d’approximation pour la fonction f constante de valeur 1 sur
[0, T ].
® La figure 1 montre une approximation en valeurs : le graphe de g est dans la bande
1−(ε/T ) < g(x) < 1+(ε/T ), donc
f (x)−g(x)
< ε/T quel que soit x. Par suite, on a
T
0
f (t)−g(t)
dt
T
0
ε/T dt = ε. Sur un segment, une petite approximation en valeurs
est aussi une petite approximation en moyenne.
® Sur la figure 2, on a pris h(x) = f (x) sauf sur un petit segment de longueur 2ε/n
et le maximum de h est choisi égal à n, un entier strictement positif quelconque : la
fonction h peut prendre de grandes valeurs, mais l’intervalle où cela se produit a une
longueur petite. En moyenne, l’approximation
T
0
f (t)−h(t)
dt est l’aire d’un triangle
de base 2ε/n et de hauteur n−1, donc
T
0
f (t)−h(t)
dt = (1/2)(2ε/n)(n − 1) < ε.
1
max
0xT
|f (x)−g(x)| < ε/T
T
0
f (t)−g(t)
dt < ε
max
0xT
|f (x)−
−
h(x)| = n
T
0
f (t)−h(t)
dt < ε
x
f
T
1
2ε/n
x
h
n
T
1
x
g
T
1
1
−(ε/T )
1+(ε/T )
figure 1
figure 2
3.2 La décomposition de Fourier
élargissons le cadre précédent pour tenir compte de fonctions ayant des discontinuités ou qui ne sont pas définies en certains points. On doit se limiter à des fonctions
u telles que l’intégrale généralisée
T
0
u(t)
2 dt existe.
Définition
Si l’intégrale généralisée
T
0
u(t)
2 dt existe, on dit que la fonction u est de carré
intégrable sur [0, T ]. L’ensemble de ces fonctions forme un espace vectoriel noté
L
2
[0, T ]
.
Exemple. Posons u(x) = cos x
x
α
pour 0 < x < 2π. On a
u(x)
2 1
x
2α
et si 2α < 1,
l’intégrale généralisée
2π
0
1
t
2α
dt existe (page 327). On en déduit que si α < 1/2, la
fonction u est de carré intégrable sur [0, 2π].
Si l’on part d’une fonction u continue sur [0,T ] et qu’on la modifie en un nombre fini de
points, on obtient une fonction v telle que |u−v| et |u−v|
2 ont une intégrale nulle. Pour
des fonctions non continues, la propriété
T
0
u(t)−v(t)
2 dt = 0 n’assure donc pas que
les fonctions u et v sont égales, mais seulement que, sur [0,T ], on a u(x) = v(x) sauf en
des points formant un ensemble négligeable du point de vue de l’intégrale, comme par
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 553
[0, T ].
® La figure 1 montre une approximation en valeurs : le graphe de g est dans la bande
1−(ε/T ) < g(x) < 1+(ε/T ), donc
f (x)−g(x)
< ε/T quel que soit x. Par suite, on a
T
0
f (t)−g(t)
dt
T
0
ε/T dt = ε. Sur un segment, une petite approximation en valeurs
est aussi une petite approximation en moyenne.
® Sur la figure 2, on a pris h(x) = f (x) sauf sur un petit segment de longueur 2ε/n
et le maximum de h est choisi égal à n, un entier strictement positif quelconque : la
fonction h peut prendre de grandes valeurs, mais l’intervalle où cela se produit a une
longueur petite. En moyenne, l’approximation
T
0
f (t)−h(t)
dt est l’aire d’un triangle
de base 2ε/n et de hauteur n−1, donc
T
0
f (t)−h(t)
dt = (1/2)(2ε/n)(n − 1) < ε.
1
max
0xT
|f (x)−g(x)| < ε/T
T
0
f (t)−g(t)
dt < ε
max
0xT
|f (x)−
−
h(x)| = n
T
0
f (t)−h(t)
dt < ε
x
f
T
1
2ε/n
x
h
n
T
1
x
g
T
1
1
−(ε/T )
1+(ε/T )
figure 1
figure 2
3.2 La décomposition de Fourier
élargissons le cadre précédent pour tenir compte de fonctions ayant des discontinuités ou qui ne sont pas définies en certains points. On doit se limiter à des fonctions
u telles que l’intégrale généralisée
T
0
u(t)
2 dt existe.
Définition
Si l’intégrale généralisée
T
0
u(t)
2 dt existe, on dit que la fonction u est de carré
intégrable sur [0, T ]. L’ensemble de ces fonctions forme un espace vectoriel noté
L
2
[0, T ]
.
Exemple. Posons u(x) = cos x
x
α
pour 0 < x < 2π. On a
u(x)
2 1
x
2α
et si 2α < 1,
l’intégrale généralisée
2π
0
1
t
2α
dt existe (page 327). On en déduit que si α < 1/2, la
fonction u est de carré intégrable sur [0, 2π].
Si l’on part d’une fonction u continue sur [0,T ] et qu’on la modifie en un nombre fini de
points, on obtient une fonction v telle que |u−v| et |u−v|
2 ont une intégrale nulle. Pour
des fonctions non continues, la propriété
T
0
u(t)−v(t)
2 dt = 0 n’assure donc pas que
les fonctions u et v sont égales, mais seulement que, sur [0,T ], on a u(x) = v(x) sauf en
des points formant un ensemble négligeable du point de vue de l’intégrale, comme par
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 553