fonction f étant paire, ses coefficients b n sont tous nuls. On a
a n = 2
π
π
0
sin t cos 2nt dt = 1
π
π
0
sin(2n+1)t + sin(2n−1)t
dt = − 4
π
1
4n
2
−1
En particulier, a 0 = 4
π
et l’égalité de Bessel s’écrit
8
π
2
+ 16
π
2
+∞
n=1
1
(4n
2
−1)
2
= 2
π
π
0
(sin t)
2 dt
On a
π
0
(sin t)
2 dt = 1
2
π
0
(1− cos 2t) dt = π
2
− 1
4
sin 2t
π
0
= π
2
d’où 8
π
2
+ 16
π
2
+∞
n=1
1
(4n
2 −1)
2
= 1 et finalement
+∞
n=1
1
(4n
2 −1)
2
= π
2
16
− 1
2
.
Approximations en moyenne
1) D’après le théorème de Bessel, les polynômes trigonométriques S N (x)=
N
n=−N
c n (f )e
n i ωx
ont la propriété :
T
0
f (t)−S N (t)
2 dt tend vers 0 quand N tend vers +∞.
On dit que les fonctions S N tendent vers f en moyenne quadratique.
2) Montrons que
T
0
f (t)−S N (t)
dt tend aussi vers 0 quand N tend vers +∞.
On dit que les fonctions S N tendent en moyenne vers f .
Pour toutes fonctions f et g continues sur [0, T ], on a l’inégalité de Cauchy-Schwarz
(page 207)
T
0
f (t)g(t) dt
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2 T
0
|g(t)|
2 dt
1/2
Appliquons cette inégalité à la fonction
f (x)
en prenant g constante de valeur 1 :
il vient
0
T
0
f (t)
dt
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2 T
0
dt
1/2
=
√
T
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2
Remplaçons f par f −S N : d’après le théorème de Bessel,
T
0
f (t)−S N (t)
2 dt tend
vers 0 quand N tend vers +∞. L’intégrale
T
0
f (t)−S N (t)
dt est positive et majorée
par une quantité qui tend vers 0 quand N tend vers +∞, donc elle tend vers 0
quand N tend vers +∞.
Dans une approximation en moyenne du type
T
0
f (t)−g(t)
dt < ε, ce qui compte,
c’est que l’aire comprise entre le graphe de f et celui de g soit petite en valeur
absolue : les fonctions f et g peuvent prendre des valeurs très différentes, mais
seulement sur des intervalles très petits.
Une approximation en moyenne n’est pas nécessairement
une approximation en valeurs.
552 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER
a n = 2
π
π
0
sin t cos 2nt dt = 1
π
π
0
sin(2n+1)t + sin(2n−1)t
dt = − 4
π
1
4n
2
−1
En particulier, a 0 = 4
π
et l’égalité de Bessel s’écrit
8
π
2
+ 16
π
2
+∞
n=1
1
(4n
2
−1)
2
= 2
π
π
0
(sin t)
2 dt
On a
π
0
(sin t)
2 dt = 1
2
π
0
(1− cos 2t) dt = π
2
− 1
4
sin 2t
π
0
= π
2
d’où 8
π
2
+ 16
π
2
+∞
n=1
1
(4n
2 −1)
2
= 1 et finalement
+∞
n=1
1
(4n
2 −1)
2
= π
2
16
− 1
2
.
Approximations en moyenne
1) D’après le théorème de Bessel, les polynômes trigonométriques S N (x)=
N
n=−N
c n (f )e
n i ωx
ont la propriété :
T
0
f (t)−S N (t)
2 dt tend vers 0 quand N tend vers +∞.
On dit que les fonctions S N tendent vers f en moyenne quadratique.
2) Montrons que
T
0
f (t)−S N (t)
dt tend aussi vers 0 quand N tend vers +∞.
On dit que les fonctions S N tendent en moyenne vers f .
Pour toutes fonctions f et g continues sur [0, T ], on a l’inégalité de Cauchy-Schwarz
(page 207)
T
0
f (t)g(t) dt
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2 T
0
|g(t)|
2 dt
1/2
Appliquons cette inégalité à la fonction
f (x)
en prenant g constante de valeur 1 :
il vient
0
T
0
f (t)
dt
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2 T
0
dt
1/2
=
√
T
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2
Remplaçons f par f −S N : d’après le théorème de Bessel,
T
0
f (t)−S N (t)
2 dt tend
vers 0 quand N tend vers +∞. L’intégrale
T
0
f (t)−S N (t)
dt est positive et majorée
par une quantité qui tend vers 0 quand N tend vers +∞, donc elle tend vers 0
quand N tend vers +∞.
Dans une approximation en moyenne du type
T
0
f (t)−g(t)
dt < ε, ce qui compte,
c’est que l’aire comprise entre le graphe de f et celui de g soit petite en valeur
absolue : les fonctions f et g peuvent prendre des valeurs très différentes, mais
seulement sur des intervalles très petits.
Une approximation en moyenne n’est pas nécessairement
une approximation en valeurs.
552 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER