sont des polynômes trigonométriques, leur produit scalaire est S N · S
N =
N
n=−N c n (f )c n (g) ,
d’où l’égalité (iii).
Proposition. Soient f et g des fonctions continues et périodiques de période T .
i) Pour tout n, on a c n (f + g) = c n (f ) + c n (g) et si λ est un nombre complexe,
c n (λf ) = λc n (f ).
ii) Si c n (f ) = c n (g) pour tout n ∈ Z, alors f (x) = g(x) quel que soit x.
Démonstration. La première propriété vient de la linéarité de l’intégrale. Supposons c n (f ) =
c n (g) quel que soit n ∈ Z, donc pour la fonction u = f −g, on a c n (u) = 0 quel que soit n.
D’après l’égalité de Bessel, u
2 = 1
T
T
0
u(t)
2 dt = 0, donc u est identiquement nulle.
Cas d'une fonction à valeurs réelles
Supposons que f est continue, de période T = 2π
ω
et à valeurs réelles.
On a alors f (x)e n i ωx = f (x)e
−n i ωx et par définition des coefficients de Fourier, il
vient c n (f ) = c −n (f ). On pose pour tout n 0 :
a n (f ) = 2
T
T
0
f (t) cos nωt dt et b n (f ) = 2
T
T
0
f (t) sin nωt dt.
Puisque e
n i ωx = cos nωx + i sin nωx, on a alors (en omettant la référence à f )
a n = c n + c −n
b n = i
c n − c −n
, donc a 0 = 2c 0 et b 0 = 0
2c n = a n − i b n
2c −n = a n + i b n = 2c n
d’où 2
|c n |
2 + |c −n |
2
= a
2
n + b
2
n . On en déduit les formulations suivantes.
®
2
T
T
0
f (t)
2 dt =
a
2
0
2
+
+∞
n=1 (a
2
n + b
2
n ) (égalité de Bessel).
® S N (x) =
a 0
2
+
N
n=1 (a n cos nωx + b n sin nωx).
®
2
T
T
0
f (t) − S N (t)
2 dt =
+∞
n=N +1 (a
2
n + b
2
n ) tend vers 0 quand N tend vers +∞.
Parité. On a b n (f )=
T /2
−T /2
f (t) sin nωt dt : si la fonction f est paire, alors f (t)sinnωt
est impaire et l’intégrale précédente est nulle. De même, si f est impaire, f (t) cos nωt
est impaire et a n (f ) = 0.
Si la fonction f est paire, alors b n (f ) = 0 pour tout n.
Si la fonction f est impaire, alors a n (f ) = 0 pour tout n.
Exemple.
x
f
π
1
Posons f (x) = | sin x|. La fonction f est
continue et puisque sin(x+π) = − sin x, f est périodique de période π : on a ici T = π, donc ω = 2. La
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 551
N =
N
n=−N c n (f )c n (g) ,
d’où l’égalité (iii).
Proposition. Soient f et g des fonctions continues et périodiques de période T .
i) Pour tout n, on a c n (f + g) = c n (f ) + c n (g) et si λ est un nombre complexe,
c n (λf ) = λc n (f ).
ii) Si c n (f ) = c n (g) pour tout n ∈ Z, alors f (x) = g(x) quel que soit x.
Démonstration. La première propriété vient de la linéarité de l’intégrale. Supposons c n (f ) =
c n (g) quel que soit n ∈ Z, donc pour la fonction u = f −g, on a c n (u) = 0 quel que soit n.
D’après l’égalité de Bessel, u
2 = 1
T
T
0
u(t)
2 dt = 0, donc u est identiquement nulle.
Cas d'une fonction à valeurs réelles
Supposons que f est continue, de période T = 2π
ω
et à valeurs réelles.
On a alors f (x)e n i ωx = f (x)e
−n i ωx et par définition des coefficients de Fourier, il
vient c n (f ) = c −n (f ). On pose pour tout n 0 :
a n (f ) = 2
T
T
0
f (t) cos nωt dt et b n (f ) = 2
T
T
0
f (t) sin nωt dt.
Puisque e
n i ωx = cos nωx + i sin nωx, on a alors (en omettant la référence à f )
a n = c n + c −n
b n = i
c n − c −n
, donc a 0 = 2c 0 et b 0 = 0
2c n = a n − i b n
2c −n = a n + i b n = 2c n
d’où 2
|c n |
2 + |c −n |
2
= a
2
n + b
2
n . On en déduit les formulations suivantes.
®
2
T
T
0
f (t)
2 dt =
a
2
0
2
+
+∞
n=1 (a
2
n + b
2
n ) (égalité de Bessel).
® S N (x) =
a 0
2
+
N
n=1 (a n cos nωx + b n sin nωx).
®
2
T
T
0
f (t) − S N (t)
2 dt =
+∞
n=N +1 (a
2
n + b
2
n ) tend vers 0 quand N tend vers +∞.
Parité. On a b n (f )=
T /2
−T /2
f (t) sin nωt dt : si la fonction f est paire, alors f (t)sinnωt
est impaire et l’intégrale précédente est nulle. De même, si f est impaire, f (t) cos nωt
est impaire et a n (f ) = 0.
Si la fonction f est paire, alors b n (f ) = 0 pour tout n.
Si la fonction f est impaire, alors a n (f ) = 0 pour tout n.
Exemple.
x
f
π
1
Posons f (x) = | sin x|. La fonction f est
continue et puisque sin(x+π) = − sin x, f est périodique de période π : on a ici T = π, donc ω = 2. La
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