Propriétés des coefficients de Fourier
Puisque S N est le projeté de f sur V N , f −S N est orthogonal à V N , donc à
S N . On a f = (f −S N ) + S N , où f et f −S N sont orthogonaux, donc par le théorème de Pythagore (page 203), il vient f
2 = f − S N
2 + S N
2
S N
2 . Comme
S N
2 =
N
n=−N
c n (f )
2 , on en déduit
N
n=−N
c n (f )
2 f
2 , pour tout N .
Nous allons être amenés à sommer des nombres indexés par tous les entiers, positifs
ou négatifs. Étant donnés des nombres complexes (a n ) n∈Z , nous dirons que la série
a n est convergente si les sommes partielles
N
n=−N a n ont une limite quand N
tend vers +∞. La somme se note alors
+∞
n=−∞ a n . De même, une série
n∈Z a n
est dite absolument convergente si
|a n | est convergente.
Théorème de Bessel. Pour toutes fonctions f et g continues et périodiques de période
T , on a
i) lim
N →+∞
f −
N
n=−N c n (f )e n = 0
ii)
1
T
T
0
f (t)
2 dt =
+∞
n=−∞
c n (f )
2 (égalité de Bessel)
iii)
1
T
T
0
f (t)g(t) dt =
+∞
n=−∞ c n (f )c n (g).
D’après (ii), la série
c n (f )
2 est convergente, donc son terme général tend vers 0.
Les coefficients de Fourier c n (f ) tendent vers 0 quand n tend
vers +∞ ou vers −∞.
Démonstration du théorème. La série
c n (f )
2 est à termes positifs et ses sommes
partielles
N
n=−N
c n (f )
2 sont toutes majorées par f
2 , donc la série converge. Pour
tout N , posons S N =
N
n=−N c n (f )e n . Choisissons un polynôme trigonométrique P tel que
f (x)−P (x)
ε pour tout x ∈ [0,T ]. On a alors f −P
2 = 1
T
T
0
f (t)−P (t)
2 dt ε
2 . Puisque
P est combinaison linéaire d’un nombre fini de e k , il y a un indice q tel que P est combinaison des e k pour |k| q. Pour tout N q, S N −P est alors combinaison des e k pour
|k| N , autrement dit S N −P ∈ V N . D’autre part, f −S N est orthogonal à V N et l’on a
(f −S N ) + (S N −P ) = f −P . D’après le théorème de Pythagore, on en déduit
f −S N
2 + S N −P
2 = f −P
2
Par suite, on a f −S N f −P ε pour tout N q, ce qui montre (i).
On a aussi f =(f −S N )+S N et d’après le théorème de Pythagore, f
2 =f −S N
2 +S N
2 . Or
nous venons de voir que f −S N tend vers 0 quand N tend vers +∞, donc lim
N →+∞
S N
2 =
f
2 , ce qui est l’égalité (ii).
Notons S
N le projeté orthogonal de la fonction g sur V N . On a (f −S N )·S
N = 0 = S N ·(g−S
N ),
car f −S N et g−S
N sont orthogonaux à V N . Par suite (f −S N ) · (g−S
N ) = (f · g) − (S N · S
N ).
Puisque le module du produit scalaire est inférieur ou égal au produit des normes (inégalité de
Cauchy-Schwarz, page 204), on en déduit
(f · g) − (S N · S
N )
f −S N g−S
N . Le membre
de droite tend vers 0 quand N tend vers +∞, donc aussi (f ·g)−(S N ·S
N ). Puisque S N et S
N
550 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER
Puisque S N est le projeté de f sur V N , f −S N est orthogonal à V N , donc à
S N . On a f = (f −S N ) + S N , où f et f −S N sont orthogonaux, donc par le théorème de Pythagore (page 203), il vient f
2 = f − S N
2 + S N
2
S N
2 . Comme
S N
2 =
N
n=−N
c n (f )
2 , on en déduit
N
n=−N
c n (f )
2 f
2 , pour tout N .
Nous allons être amenés à sommer des nombres indexés par tous les entiers, positifs
ou négatifs. Étant donnés des nombres complexes (a n ) n∈Z , nous dirons que la série
a n est convergente si les sommes partielles
N
n=−N a n ont une limite quand N
tend vers +∞. La somme se note alors
+∞
n=−∞ a n . De même, une série
n∈Z a n
est dite absolument convergente si
|a n | est convergente.
Théorème de Bessel. Pour toutes fonctions f et g continues et périodiques de période
T , on a
i) lim
N →+∞
f −
N
n=−N c n (f )e n = 0
ii)
1
T
T
0
f (t)
2 dt =
+∞
n=−∞
c n (f )
2 (égalité de Bessel)
iii)
1
T
T
0
f (t)g(t) dt =
+∞
n=−∞ c n (f )c n (g).
D’après (ii), la série
c n (f )
2 est convergente, donc son terme général tend vers 0.
Les coefficients de Fourier c n (f ) tendent vers 0 quand n tend
vers +∞ ou vers −∞.
Démonstration du théorème. La série
c n (f )
2 est à termes positifs et ses sommes
partielles
N
n=−N
c n (f )
2 sont toutes majorées par f
2 , donc la série converge. Pour
tout N , posons S N =
N
n=−N c n (f )e n . Choisissons un polynôme trigonométrique P tel que
f (x)−P (x)
ε pour tout x ∈ [0,T ]. On a alors f −P
2 = 1
T
T
0
f (t)−P (t)
2 dt ε
2 . Puisque
P est combinaison linéaire d’un nombre fini de e k , il y a un indice q tel que P est combinaison des e k pour |k| q. Pour tout N q, S N −P est alors combinaison des e k pour
|k| N , autrement dit S N −P ∈ V N . D’autre part, f −S N est orthogonal à V N et l’on a
(f −S N ) + (S N −P ) = f −P . D’après le théorème de Pythagore, on en déduit
f −S N
2 + S N −P
2 = f −P
2
Par suite, on a f −S N f −P ε pour tout N q, ce qui montre (i).
On a aussi f =(f −S N )+S N et d’après le théorème de Pythagore, f
2 =f −S N
2 +S N
2 . Or
nous venons de voir que f −S N tend vers 0 quand N tend vers +∞, donc lim
N →+∞
S N
2 =
f
2 , ce qui est l’égalité (ii).
Notons S
N le projeté orthogonal de la fonction g sur V N . On a (f −S N )·S
N = 0 = S N ·(g−S
N ),
car f −S N et g−S
N sont orthogonaux à V N . Par suite (f −S N ) · (g−S
N ) = (f · g) − (S N · S
N ).
Puisque le module du produit scalaire est inférieur ou égal au produit des normes (inégalité de
Cauchy-Schwarz, page 204), on en déduit
(f · g) − (S N · S
N )
f −S N g−S
N . Le membre
de droite tend vers 0 quand N tend vers +∞, donc aussi (f ·g)−(S N ·S
N ). Puisque S N et S
N
550 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER