Les fonctions e n ont pour période T : en effet, e n (T )=e
n i ωT =e
2π i =1, donc pour tout
x, on a e n (x+T ) = e n (x)e n (T ) = e n (x). De plus, nous avons montré (page 208) que
e n · e p =
0 si n = p
1 si n = p
, autrement dit :
les fonctions e n (x) = e
n i ωx , où n ∈ Z, forment une famille orthonormée dans V .
Définition
Soit f une fonction appartenant à V . Les coefficients de Fourier de f sont les
nombres complexes c n (f ) = f · e n = 1
T
T
0
f (t) e
−n i ωt dt, où n ∈ Z.
Rappel : Si u est une fonction périodique de période T , l’intégrale
T
0
u(t) dt est
égale à l’intégrale de u sur n’importe quel intervalle de longueur T .
3.1 Approximation par des polynômes trigonométriques
Pour tout entier N > 0, notons V N l’espace vectoriel ayant pour base les e n avec
−N n N . Les éléments de V N sont les combinaisons linéaires à coefficients
complexes des fonctions e n pour |n| N . Ils s’écrivent de manière unique
P (x) =
N
n=−N λ n e n (x), où les λ n sont des nombres complexes.
De telles fonctions P (x) s’appellent des polynômes trigonométriques, car pour tout
entier relatif n, on a e n (x) =
e
i ωx
n =
e 1 (x)
n .
Pour un polynôme trigonométrique P =
N
n=−N λ n e n , on a P
2 =
N
n=−N |λ n |
2 .
En effet, les λ n sont les coordonnées de P dans la base orthonormée des e n (proposition
page 206).
Soit f ∈ V . D’après le théorème de la projection page 209, le projeté orthogonal de
f sur le sous-espace V N est le polynôme trigonométrique
S N (x) =
N
n=−N c n (f )e n (x) .
On a donc : f − S N f − P , pour tout P ∈ V N .
Le polynôme trigonométrique S N est la meilleure approximation de f , au sens
de la norme de V , par un polynôme trigonomérique ne faisant intervenir que les
fonctions e
n i ωx avec |n| N .
Au moyen de polynômes trigonométriques, on peut approcher les valeurs de f sur tout
l’intervalle [0, T ], car on a la propriété suivante.
Etant donn´ e un nombre ε > 0, il existe un polynˆ ome trigonom´ etrique P tel que
f (x)−P (x)
ε quel que soit x ∈ [0, T ].
Nous verrons que ce qui compte vraiment, c’est l’existence de polynômes trigonométriques qui rendent f −P aussi petit qu’on veut.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 549
n i ωT =e
2π i =1, donc pour tout
x, on a e n (x+T ) = e n (x)e n (T ) = e n (x). De plus, nous avons montré (page 208) que
e n · e p =
0 si n = p
1 si n = p
, autrement dit :
les fonctions e n (x) = e
n i ωx , où n ∈ Z, forment une famille orthonormée dans V .
Définition
Soit f une fonction appartenant à V . Les coefficients de Fourier de f sont les
nombres complexes c n (f ) = f · e n = 1
T
T
0
f (t) e
−n i ωt dt, où n ∈ Z.
Rappel : Si u est une fonction périodique de période T , l’intégrale
T
0
u(t) dt est
égale à l’intégrale de u sur n’importe quel intervalle de longueur T .
3.1 Approximation par des polynômes trigonométriques
Pour tout entier N > 0, notons V N l’espace vectoriel ayant pour base les e n avec
−N n N . Les éléments de V N sont les combinaisons linéaires à coefficients
complexes des fonctions e n pour |n| N . Ils s’écrivent de manière unique
P (x) =
N
n=−N λ n e n (x), où les λ n sont des nombres complexes.
De telles fonctions P (x) s’appellent des polynômes trigonométriques, car pour tout
entier relatif n, on a e n (x) =
e
i ωx
n =
e 1 (x)
n .
Pour un polynôme trigonométrique P =
N
n=−N λ n e n , on a P
2 =
N
n=−N |λ n |
2 .
En effet, les λ n sont les coordonnées de P dans la base orthonormée des e n (proposition
page 206).
Soit f ∈ V . D’après le théorème de la projection page 209, le projeté orthogonal de
f sur le sous-espace V N est le polynôme trigonométrique
S N (x) =
N
n=−N c n (f )e n (x) .
On a donc : f − S N f − P , pour tout P ∈ V N .
Le polynôme trigonométrique S N est la meilleure approximation de f , au sens
de la norme de V , par un polynôme trigonomérique ne faisant intervenir que les
fonctions e
n i ωx avec |n| N .
Au moyen de polynômes trigonométriques, on peut approcher les valeurs de f sur tout
l’intervalle [0, T ], car on a la propriété suivante.
Etant donn´ e un nombre ε > 0, il existe un polynˆ ome trigonom´ etrique P tel que
f (x)−P (x)
ε quel que soit x ∈ [0, T ].
Nous verrons que ce qui compte vraiment, c’est l’existence de polynômes trigonométriques qui rendent f −P aussi petit qu’on veut.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
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ERIES DE FOURIER – 549