des produits a p a q , où p et q sont quelconques tels que p+q = n. Il y a un seul un arbre
binaire n’ayant que deux sommets terminaux, donc a 2 = 1. Puisque a 1 = 1, on obtient
a n = a 1 a n−1 + a 2 a n−2 + · · · + a n−1 a 1 , pour tout entier n 3.
Considérons la série entière
a n x
n , où l’on a posé a 0 = 0. Dans la série produit
(
a n x
n )
2 , le coefficient b n de x
n est précisément la somme ci-dessus, d’après la
définition page 535. On a donc
b 0 = b 1 = 0 = a 0 , b 2 = a
2
1 = 1 = a 2 et b n = a n pour n 3.
Si l’on admet pour le moment que la série définit bien une fonction S(x)=
+∞
n=0 a n x
n ,
alors il vient
S(x) −
S(x)
2 =
+∞
n=0
(a n −b n )x
n = (a 1 −b 1 )x = x .
Ainsi S(x) est solution de l’équation Z
2
−Z−x et S(0) = 0, d’où S(x)= 1
2
− 1
2
√
1−4x.
Dans le développement en série de
√
1−4x, le coefficient de x
n est −
1 · 3 · · · (2n−3)
2 · 4 · · · 2n
4
n
(page 541), donc a n =
1 · 3 · · · (2n−3)
2 · 4 · · · 2n
2
2n−1 =
1 · 3 · · · (2n−3)
1 · 2 · · · n
2
n−1 . En multipliant haut
et bas par 2 · 4 · · · (2n−2) = 2
n−1 (n−1)!, il vient la formule simple
a n =
(2n−2)!
n!(n−1)!
= 1
2n−1
2n−1
n
, pour tout n 1.
On dit que S(x) est la fonction génératrice de la suite (a n ), car le développement en
série de S(x) a pour coefficients les a n .
3. Décomposition de Fourier
Nous allons considérer des fonctions f d’une variable réelle, continues, périodiques
de période T et à valeurs éventuellement complexes : on a donc f (x+T ) = f (x)
pour tout x ∈ R. Soit V l’espace vectoriel constitué par ces fonctions.
Si f et g sont des fonctions appartenant à V , on définit leur produit hermitien
comme page 207, en posant
f · g = 1
T
T
0
f (t)g(t) dt
La norme associée est f =
1
T
T
0
f (t)
2 dt
1/2
.
Si par exemple f est un signal temporel, f
2 s’interprète comme la puissance dissipée
pendant une période.
Posons ω = 2π
T
. Pour tout entier n ∈ Z, définissons la fonction e n en posant
e n (x) = e
n i ωx , pour tout x ∈ R.
548 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER
binaire n’ayant que deux sommets terminaux, donc a 2 = 1. Puisque a 1 = 1, on obtient
a n = a 1 a n−1 + a 2 a n−2 + · · · + a n−1 a 1 , pour tout entier n 3.
Considérons la série entière
a n x
n , où l’on a posé a 0 = 0. Dans la série produit
(
a n x
n )
2 , le coefficient b n de x
n est précisément la somme ci-dessus, d’après la
définition page 535. On a donc
b 0 = b 1 = 0 = a 0 , b 2 = a
2
1 = 1 = a 2 et b n = a n pour n 3.
Si l’on admet pour le moment que la série définit bien une fonction S(x)=
+∞
n=0 a n x
n ,
alors il vient
S(x) −
S(x)
2 =
+∞
n=0
(a n −b n )x
n = (a 1 −b 1 )x = x .
Ainsi S(x) est solution de l’équation Z
2
−Z−x et S(0) = 0, d’où S(x)= 1
2
− 1
2
√
1−4x.
Dans le développement en série de
√
1−4x, le coefficient de x
n est −
1 · 3 · · · (2n−3)
2 · 4 · · · 2n
4
n
(page 541), donc a n =
1 · 3 · · · (2n−3)
2 · 4 · · · 2n
2
2n−1 =
1 · 3 · · · (2n−3)
1 · 2 · · · n
2
n−1 . En multipliant haut
et bas par 2 · 4 · · · (2n−2) = 2
n−1 (n−1)!, il vient la formule simple
a n =
(2n−2)!
n!(n−1)!
= 1
2n−1
2n−1
n
, pour tout n 1.
On dit que S(x) est la fonction génératrice de la suite (a n ), car le développement en
série de S(x) a pour coefficients les a n .
3. Décomposition de Fourier
Nous allons considérer des fonctions f d’une variable réelle, continues, périodiques
de période T et à valeurs éventuellement complexes : on a donc f (x+T ) = f (x)
pour tout x ∈ R. Soit V l’espace vectoriel constitué par ces fonctions.
Si f et g sont des fonctions appartenant à V , on définit leur produit hermitien
comme page 207, en posant
f · g = 1
T
T
0
f (t)g(t) dt
La norme associée est f =
1
T
T
0
f (t)
2 dt
1/2
.
Si par exemple f est un signal temporel, f
2 s’interprète comme la puissance dissipée
pendant une période.
Posons ω = 2π
T
. Pour tout entier n ∈ Z, définissons la fonction e n en posant
e n (x) = e
n i ωx , pour tout x ∈ R.
548 – D ´
ECOMPOSITION DE FOURIER