La condition (H) s’écrit d
dμ
(1−μ
2 ) dS
dμ
+ n(n+1)S = 0, ou encore
(h)
(1−μ
2 ) d
2 S
dμ
2
− 2μ dS
dμ
+ n(n+1)S = 0
Pour n entier positif, c’est l’équation différentielle de Legendre (L n ). Si n est négatif,
alors en posant k = −n−1 > 0, on a n(n+1) = k(k+1), donc S(μ) doit être solution
de L k . On a ainsi le résultat suivant.
Pour tout entier n positif, les fonctions r
n P n (cosψ) et 1
r
n+1
P n (cos ψ) sont harmoniques.
® Donnons-nous sur la sphère de rayon a, une fonction f (ψ) combinaison de polynômes de Legendre en cosψ : f (ψ) = c 0 P 0 (cosψ)+c 1 P 1 (cosψ)+· · ·+c m P m (cosψ). Alors
la fonction F (r, ψ) = c 0 P 0 (cosψ) + c 1
r
a P 1 (cosψ) + · · · + c m
r
m
a
m P m (cosψ) est harmonique
dans la boule de rayon a et vaut f sur le bord de la boule : en effet, pour r = a, on a
F (a, ψ) = f (ψ). Si l’on cherche dans la boule un potentiel harmonique qui satisfait à peu
près une condition c(ψ) donnée sur le bord, on peut commencer par approcher c(ψ)
par une combinaison f (ψ) de polynômes de Legendre, comme en fin de paragraphe
précédent, et utiliser F (r, ψ).
® Sur une sphère, chaque fonction Φ n = r
n P n (cosψ) ou 1
r
n+1
P n (cosψ) s’annule le long
des parallèles ψ=constante telle que cosψ est une racine du polynôme P n ; cela découpe la
sphère en bandes horizontales appelées zones : les Φ n s’appellent des harmoniques zonales.
2.5 Un exemple de fonction génératrice
Considérons les arbres ayant un seul
(ab
ab
a
b
c
d
cd
)(cd)
(ab)c
d
(ab
ab
a
b
c
)c
d
a
b(cd)
b(cd
cd
d
c
b
a
)
a(bc)
a
a
b
c
bc
d
(bc)
d
a
(bc)d
(bc
bc
)d
c
b
d
a
sommet initial et exactement deux
arêtes issues de chaque sommet non
terminal : ce sont les arbres binaires.
On les utilise en algorithmique pour décrire les
différentes façons de parcourir un processus où il
y a deux possibilités à chaque étape. Ils décrivent
aussi les différentes manières de parenthéser un mot
m 1 m 2 · · · m n : pour le mot abcd, on ainsi les cinq
possibilités
(ab)c
d,
a(bc)
d, a
(bc)d
a
b(cd)
et (ab)(cd). Nous allons compter le nombre a n d’arbres binaires ayant n sommets
terminaux.
Soient A et B des arbres binaires à p et q sommets terminaux. Appelons a le sommet
initial de A et b le sommet initial de B . Formons un nouvel arbre A∗B en nous donnant
son sommet initial S et en accrochant A et B par leur sommet a et b à deux arcs
S, a et
S, b issus de S : l’arbre binaire A∗B possède p+q sommets terminaux. Tout arbre binaire
est formé de cette manière, à condition d’introduire parmi les arbres binaires l’arbre-point
qui n’a qu’un seul sommet et pas d’arête. On en déduit que le nombre a n est la somme
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 547
dμ
(1−μ
2 ) dS
dμ
+ n(n+1)S = 0, ou encore
(h)
(1−μ
2 ) d
2 S
dμ
2
− 2μ dS
dμ
+ n(n+1)S = 0
Pour n entier positif, c’est l’équation différentielle de Legendre (L n ). Si n est négatif,
alors en posant k = −n−1 > 0, on a n(n+1) = k(k+1), donc S(μ) doit être solution
de L k . On a ainsi le résultat suivant.
Pour tout entier n positif, les fonctions r
n P n (cosψ) et 1
r
n+1
P n (cos ψ) sont harmoniques.
® Donnons-nous sur la sphère de rayon a, une fonction f (ψ) combinaison de polynômes de Legendre en cosψ : f (ψ) = c 0 P 0 (cosψ)+c 1 P 1 (cosψ)+· · ·+c m P m (cosψ). Alors
la fonction F (r, ψ) = c 0 P 0 (cosψ) + c 1
r
a P 1 (cosψ) + · · · + c m
r
m
a
m P m (cosψ) est harmonique
dans la boule de rayon a et vaut f sur le bord de la boule : en effet, pour r = a, on a
F (a, ψ) = f (ψ). Si l’on cherche dans la boule un potentiel harmonique qui satisfait à peu
près une condition c(ψ) donnée sur le bord, on peut commencer par approcher c(ψ)
par une combinaison f (ψ) de polynômes de Legendre, comme en fin de paragraphe
précédent, et utiliser F (r, ψ).
® Sur une sphère, chaque fonction Φ n = r
n P n (cosψ) ou 1
r
n+1
P n (cosψ) s’annule le long
des parallèles ψ=constante telle que cosψ est une racine du polynôme P n ; cela découpe la
sphère en bandes horizontales appelées zones : les Φ n s’appellent des harmoniques zonales.
2.5 Un exemple de fonction génératrice
Considérons les arbres ayant un seul
(ab
ab
a
b
c
d
cd
)(cd)
(ab)c
d
(ab
ab
a
b
c
)c
d
a
b(cd)
b(cd
cd
d
c
b
a
)
a(bc)
a
a
b
c
bc
d
(bc)
d
a
(bc)d
(bc
bc
)d
c
b
d
a
sommet initial et exactement deux
arêtes issues de chaque sommet non
terminal : ce sont les arbres binaires.
On les utilise en algorithmique pour décrire les
différentes façons de parcourir un processus où il
y a deux possibilités à chaque étape. Ils décrivent
aussi les différentes manières de parenthéser un mot
m 1 m 2 · · · m n : pour le mot abcd, on ainsi les cinq
possibilités
(ab)c
d,
a(bc)
d, a
(bc)d
a
b(cd)
et (ab)(cd). Nous allons compter le nombre a n d’arbres binaires ayant n sommets
terminaux.
Soient A et B des arbres binaires à p et q sommets terminaux. Appelons a le sommet
initial de A et b le sommet initial de B . Formons un nouvel arbre A∗B en nous donnant
son sommet initial S et en accrochant A et B par leur sommet a et b à deux arcs
S, a et
S, b issus de S : l’arbre binaire A∗B possède p+q sommets terminaux. Tout arbre binaire
est formé de cette manière, à condition d’introduire parmi les arbres binaires l’arbre-point
qui n’a qu’un seul sommet et pas d’arête. On en déduit que le nombre a n est la somme
Chapitre 17 – S ´
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