Un espace euclidien de fonctions. Pour toutes fonctions f et g continues sur
[−1, 1], posons
f · g =
1
−1
f (x)g(x) dx
On a f ·g =g·f et puisque intégrer est une opération linéaire, on a (f 1 +f 2 )·g =f 1 ·g+f 2 ·g
et (λf ) · g = λ(f · g) : le nombre f · g dépend donc linéairement de chaque terme. De plus,
f · f =
1
−1
f (x)
2 dx est strictement positif si f n’est pas identiquement nulle sur [−1,1].
On a donc ainsi défini un produit scalaire sur l’espace vectoriel V des fonctions
continues sur [−1, 1] (chapitre 7).
D’après les relations précédentes, les polynômes de Legendre P 0 , P 1 , . . . , P k . . . sont
deux à deux orthogonaux pour ce produit scalaire. Puisque P k est de degré k, les
(n+1) polynômes P 0 ,P 1 ,. . .,P n forment une base du sous-espace P n des polynômes
de degré inférieur ou égal à n. En divisant chacun par sa norme, on obtient une
base orthonormée de P n .
Les polynômes
1/2 P 0 ,
3/2 P 1 , . . . ,
(2n+1)/2 P n forment une base orthonormée de l’espace P n muni du produit scalaire P · Q =
1
−1
P (x)Q(x) dx.
Soit f une fonction appartenant à V . Parmi les polynômes P de degré au plus n,
celui qui rend minimum la distance f − P est, d’après le théorème de la projection page 209, le projeté orthogonal de f sur le sous-espace P n : son expression est
P = 1
2
(f · P 0 )P 0 + 3
2
(f · P 1 )P 1 + · · · +
2n+1
2
(f · P n )P n .
Des harmoniques sphériques
Repérons les points M de R
3 par des coordonnées sphériques
x = r cos θ sin ψ , y = r sin θ sin ψ , z = r cos ψ
où r est la distance OM , θ =
− − − − →
Ox,
− − − − − − →
Om (m est le projeté de M sur xOy) et ψ =
− − − − →
Oz,
− − − − − − − →
OM
(0 θ < 2π, 0 ψ π).
Le laplacien d’une fonction Φ = r
n S(θ, ψ) est
ΔΦ = r
n−2
1
sin ψ
∂
∂ψ
(sin ψ) ∂S
∂ψ
+ 1
sin
2 ψ
∂
2 S
∂θ
2
+ n(n+1)S
Supposons que les valeurs de Φ présentent une symétrie de révolution par rapport
à l’axe Oz : cela veut dire que S ne dépend que de l’angle ψ. La condition ΔΦ = 0
pour que Φ = r
n S(ψ) soit harmonique est donc
(H)
d
dψ
(sin ψ) dS
dψ
+ n(n+1)(sin ψ)S = 0
Posons μ = cos ψ. Il vient dS
dψ
= dS
dμ
dμ
dψ
= − dS
dμ
sin ψ, donc (sin ψ) dS
dψ
= (μ
2
−1) dS
dμ
et
d
dψ
(sin ψ) dS
dψ
= d
dμ
(μ
2
−1) dS
dμ
dμ
dψ
= (sin ψ) d
dμ
(1−μ
2 ) dS
dμ
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ERIES ENTI `
ERES
[−1, 1], posons
f · g =
1
−1
f (x)g(x) dx
On a f ·g =g·f et puisque intégrer est une opération linéaire, on a (f 1 +f 2 )·g =f 1 ·g+f 2 ·g
et (λf ) · g = λ(f · g) : le nombre f · g dépend donc linéairement de chaque terme. De plus,
f · f =
1
−1
f (x)
2 dx est strictement positif si f n’est pas identiquement nulle sur [−1,1].
On a donc ainsi défini un produit scalaire sur l’espace vectoriel V des fonctions
continues sur [−1, 1] (chapitre 7).
D’après les relations précédentes, les polynômes de Legendre P 0 , P 1 , . . . , P k . . . sont
deux à deux orthogonaux pour ce produit scalaire. Puisque P k est de degré k, les
(n+1) polynômes P 0 ,P 1 ,. . .,P n forment une base du sous-espace P n des polynômes
de degré inférieur ou égal à n. En divisant chacun par sa norme, on obtient une
base orthonormée de P n .
Les polynômes
1/2 P 0 ,
3/2 P 1 , . . . ,
(2n+1)/2 P n forment une base orthonormée de l’espace P n muni du produit scalaire P · Q =
1
−1
P (x)Q(x) dx.
Soit f une fonction appartenant à V . Parmi les polynômes P de degré au plus n,
celui qui rend minimum la distance f − P est, d’après le théorème de la projection page 209, le projeté orthogonal de f sur le sous-espace P n : son expression est
P = 1
2
(f · P 0 )P 0 + 3
2
(f · P 1 )P 1 + · · · +
2n+1
2
(f · P n )P n .
Des harmoniques sphériques
Repérons les points M de R
3 par des coordonnées sphériques
x = r cos θ sin ψ , y = r sin θ sin ψ , z = r cos ψ
où r est la distance OM , θ =
− − − − →
Ox,
− − − − − − →
Om (m est le projeté de M sur xOy) et ψ =
− − − − →
Oz,
− − − − − − − →
OM
(0 θ < 2π, 0 ψ π).
Le laplacien d’une fonction Φ = r
n S(θ, ψ) est
ΔΦ = r
n−2
1
sin ψ
∂
∂ψ
(sin ψ) ∂S
∂ψ
+ 1
sin
2 ψ
∂
2 S
∂θ
2
+ n(n+1)S
Supposons que les valeurs de Φ présentent une symétrie de révolution par rapport
à l’axe Oz : cela veut dire que S ne dépend que de l’angle ψ. La condition ΔΦ = 0
pour que Φ = r
n S(ψ) soit harmonique est donc
(H)
d
dψ
(sin ψ) dS
dψ
+ n(n+1)(sin ψ)S = 0
Posons μ = cos ψ. Il vient dS
dψ
= dS
dμ
dμ
dψ
= − dS
dμ
sin ψ, donc (sin ψ) dS
dψ
= (μ
2
−1) dS
dμ
et
d
dψ
(sin ψ) dS
dψ
= d
dμ
(μ
2
−1) dS
dμ
dμ
dψ
= (sin ψ) d
dμ
(1−μ
2 ) dS
dμ
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