D’après la formule du binôme, (x
2
−1)
n =
n
k=0 (−1)
k
n!
k!(n−k)!
x
2n−2k . Pour tout q n,
la dérivée n-ième de x
q est q(q−1) · · · (q−n+1)x
q−n =
q!
(q−n)!
x
q−n . Il vient donc
d
n
dx
n x
2n−2k =
(2n−2k)!
(n−2k)!
x
n−2k pour 2k n, c’est-à-dire pour k m puisque m vaut
n
2
ou
n−1
2
selon la parité de n. Finalement, on obtient
d
n
dx
n
(x
2 − 1)
n
=
m
k=0
(−1)
k
n!
k!(n−k)!
(2n−2k)!
(n−2k)!
x
n−2k = 2
n · n! P n (x) .
Relations d'or thogonalité :
1
−1
P n (t)P q (t) dt =
0
si n = q
2
2n+1
si n = q
Si r < q, la dérivée d
r
dx
r
(x
2
−1)
q
est divisible par (x
2
−1)
q−r , donc s’annule en x = ±1.
Supposons q n. En intégrant successivement par parties, il vient
1
−1
d
q
dx
q
(x
2 −1)
q
d
n
dx
n
(x
2 −1)
n
dx
=
d
q−1
dx
q−1
(x
2 −1)
q
d
n
dx
n
(x
2 −1)
n
1
−1
−
1
−1
d
q−1
dx
q−1
(x
2 −1)
q
d
n+1
dx
n+1
(x
2 −1)
n
dx
=
· · · · · ·
= (−1)
q
1
−1
(x
2 −1)
q d
q+n
dx
q+n
(x
2 −1)
n
dx , car les crochets sont nuls.
Si q > n, alors on a q+n > 2n et comme le polynôme (x
2
−1)
n est de degré 2n, sa
dérivée (q+n)-ième est nulle : on donc la formule annoncée pour q > n.
Supposons q = n. D’après le calcul ci-dessus, il vient
1
−1
d
n
dx
n
(x
2 −1)
n
d
n
dx
n
(x
2 −1)
n
dx = (−1)
n
1
−1
(x
2 −1)
n d
2n
dx
2n
(x
2 −1)
n
dx
= (2n)!
1
−1
(1−x
2 )
n dx , car d
2n
dx
2n
(x
2
−1)
n
= (2n)!
= 2 · (2n)!
1
0
(1−x
2 )
n dx , car la fonction à intégrer est paire
= 2 · (2n)!
π/2
0
(sin θ)
2n+1 dθ , en posant x = cos θ
= 2 · (2n)!
2 · 4 · · · (2n)
3 · 5 · · · (2n+1)
(exercice 13 page 341).
On a donc
1
−1
P n (x)
2 dx =
2 · (2n)!
(2
n · n!)
2
2 · 4 · · · (2n)
3 · 5 · · · (2n+1)
= 2
2n+1
, car 2
n
· n! = 2 · 4· · ·(2n).
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 545