Puisque n est entier, le terme de droite est nul pour k = n, donc tous les coefficients
a n+2i sont nuls pour i 1.
Supposons n pair, n = 2m
a) Supposons a 0 = 0. Alors d’après la relation (∗), tous les coefficients d’indices pairs sont nuls. Le coefficient a 1 détermine a 3 =
−(n−1)(n+2)
2 · 3
a 1 , a 5 =
(n−3)(n−1)(n+2)(n+4)
2 · 3 · 4 · 5
a 1 et plus généralement, on a
a 2k+1 = (−1)
k (n−2k+1)(n−2k−1) · · · (n−1)(n+2)(n+4) · · · (n+2k)
(2k+1)!
a 1
On obtient ainsi une série entière y =
∞
k=0 a 2k+1 x
2k+1 solution de l’équation
(L n ). Si a 1 = 0, le rayon de convergence est 1, car d’après (∗),
|a k+2 |
|a k |
tend vers
1 quand k tend vers +∞.
b) Supposons a 1 = 0. Cette fois, tous les coefficients d’indices impairs sont nuls,
de même que tous les coefficients d’indices pairs supérieurs à n = 2m : on va
donc trouver un polynôme pair. La relation (∗) donne (n−k+2)(n+k−1)a k−2 =
−k(k−1)a k et le coefficient a n = a 2m détermine a 2m−2 , a 2m−4 , . . . , a 0 , selon la
formule
a 2m−2k = (−1)
k n!(n−1)!
2 · (2n−1)!
(2n−2k)!
k!(n−k)!(n−2k)!
a 2m , pour 0 k m.
En choisissant a 2m = a n =
(2n)!
2
n (n!)
2
, on obtient comme solution de l’équation
différentielle (L n ) le polynôme
P n (x) =
m
k=0
(−1)
k
(2n−2k)!
2
n k!(n−k)!(n−2k)!
x
n−2k
Cas où n est impair. En posant n = 2m+1, la même formule que ci-dessus définit
un polynôme P n solution de l’équation différentielle (L n ).
Quel que soit n, le polynôme P n est de degré n et a la parité de n. Les polynômes
P n s’appellent les polynômes de Legendre. Ainsi
P 0 = 1 , P 1 = x , P 2 = 1
2
(3x
2
−1) , P 3 = 1
2
(5x
3
−3x) , P 4 = 1
8
(35x
4
−30x
2 +3)
On peut calculer de proche en proche les polynômes de Legendre au moyen de la
relation suivante :
(n+2)P n+2 = (2n+3)xP n+1 − (n+1)P n , pour tout entier n 0.
Ces polynômes interviennent souvent en Analyse. En voici quelques propriétés.
Formule de Rodrigues : P n (x) = 1
2
n · n!
d
n
dx
n
(x
2
−1)
n
544 – S ´
ERIES ENTI `
ERES
a n+2i sont nuls pour i 1.
Supposons n pair, n = 2m
a) Supposons a 0 = 0. Alors d’après la relation (∗), tous les coefficients d’indices pairs sont nuls. Le coefficient a 1 détermine a 3 =
−(n−1)(n+2)
2 · 3
a 1 , a 5 =
(n−3)(n−1)(n+2)(n+4)
2 · 3 · 4 · 5
a 1 et plus généralement, on a
a 2k+1 = (−1)
k (n−2k+1)(n−2k−1) · · · (n−1)(n+2)(n+4) · · · (n+2k)
(2k+1)!
a 1
On obtient ainsi une série entière y =
∞
k=0 a 2k+1 x
2k+1 solution de l’équation
(L n ). Si a 1 = 0, le rayon de convergence est 1, car d’après (∗),
|a k+2 |
|a k |
tend vers
1 quand k tend vers +∞.
b) Supposons a 1 = 0. Cette fois, tous les coefficients d’indices impairs sont nuls,
de même que tous les coefficients d’indices pairs supérieurs à n = 2m : on va
donc trouver un polynôme pair. La relation (∗) donne (n−k+2)(n+k−1)a k−2 =
−k(k−1)a k et le coefficient a n = a 2m détermine a 2m−2 , a 2m−4 , . . . , a 0 , selon la
formule
a 2m−2k = (−1)
k n!(n−1)!
2 · (2n−1)!
(2n−2k)!
k!(n−k)!(n−2k)!
a 2m , pour 0 k m.
En choisissant a 2m = a n =
(2n)!
2
n (n!)
2
, on obtient comme solution de l’équation
différentielle (L n ) le polynôme
P n (x) =
m
k=0
(−1)
k
(2n−2k)!
2
n k!(n−k)!(n−2k)!
x
n−2k
Cas où n est impair. En posant n = 2m+1, la même formule que ci-dessus définit
un polynôme P n solution de l’équation différentielle (L n ).
Quel que soit n, le polynôme P n est de degré n et a la parité de n. Les polynômes
P n s’appellent les polynômes de Legendre. Ainsi
P 0 = 1 , P 1 = x , P 2 = 1
2
(3x
2
−1) , P 3 = 1
2
(5x
3
−3x) , P 4 = 1
8
(35x
4
−30x
2 +3)
On peut calculer de proche en proche les polynômes de Legendre au moyen de la
relation suivante :
(n+2)P n+2 = (2n+3)xP n+1 − (n+1)P n , pour tout entier n 0.
Ces polynômes interviennent souvent en Analyse. En voici quelques propriétés.
Formule de Rodrigues : P n (x) = 1
2
n · n!
d
n
dx
n
(x
2
−1)
n
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ERES