Cas où α est un entier p . Si p 0, on obtient de même la solution
J p (x) =
+∞
k=0
(−1)
k
k!(p+1) · · · (p+k)
x
2
p+2k
qui est cette fois la somme d’une série entière de rayon de convergence ∞.
Pour chercher une autre solution, reprenons les calculs précédents avec α=−p et p1 : les
relations s’écrivent (−2p+1)a 1 = 0 et a k−2 + k(−2p+k)a k = 0 pour tout k 2. On en tire
a 1 = 0 et comme −2p+k = 0 pour k impair, il vient encore successivement a 1 = a 3 = · · · =
a 2i+1 = 0 pour tout i 0. En prenant k = 2p, la seconde relation donne a 2p−2 = 0, et par
suite a 2p−2 =a 2p−4 =· · ·=a 0 =0. Pour 2k>2p, on a a 2k =
−a 2k−2
2k(2k−2p)
et pour i0, les coefficients d’indice 2p+2i sont déterminés par a 2p : on a a 2p+2i =
(−1)
i
2
2i (p+1) · · · (p+i)i!
a 2p
pour tout i 0. Puisqu’on a pris α = −p, la solution obtenue est
a 2p x
−p
+∞
i=0
(−1)
i
2
2i (p+1) · · · (p+i)i!
x
2p+2i =2
p a 2p
+∞
i=0
(−1)
i
(p+1) · · · (p+i)i!
x
2
p+2i
=2
p a 2p J p (x)
Ainsi, on trouve une solution proportionnelle à J p : la méthode ne donne pas toutes
les solutions de l’équation différentielle.
La fonction J 0 . Rappelons que la fonction x → 1
π
π
0
cos(x sin θ) dθ est une solution de l’équation de Bessel (b 0 ) qui prend la valeur 1 en x = 0 (exercice 8 page 394)
et que les seules solutions définies en x = 0 sont proportionnelles à cette fonction
(exercice 4 page 473). La série entière J 0 prend la valeur 1 en x = 0 : c’est donc que
l’on a pour tout nombre réel x l’égalité
1
π
π
0
cos(x sin θ) dθ = J 0 (x) =
+∞
k=0
(−1)
k
(k!)
2
x
2
2k
= 1− x
2
2
2
+ x
4
2
2 4
2
− x
6
2
2 4
2 6
2
+ · · ·
Remarquons que la série est alternée. En dérivant terme à terme, on vérifie que
J
0 (x) = −J 1 (x).
2.4 Polynômes de Legendre
Étant donné un entier n 1, considérons l’équation différentielle de Legendre
(L n )
( 1 − x
2 )y
− 2xy
+ n(n + 1)y = 0
Cherchons des solutions sous forme d’une série entière y =
a k x
k .
® Dans 2xy
, le coefficient de x
k est 2ka k ,
® dans x
2 y
, le coefficient de x
k est k(k−1)a k ,
® et dans y
, le coefficient de x
k est (k+2)(k+1)a k+2 ,
donc on a pour tout k la relation (k+2)(k+1)a k+2 −k(k−1)a k −2ka k +n(n+1)a k = 0,
ou encore
(∗)
( k+2)(k+1)a k+2 = −(n−k)(n+k+1)a k
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 543
J p (x) =
+∞
k=0
(−1)
k
k!(p+1) · · · (p+k)
x
2
p+2k
qui est cette fois la somme d’une série entière de rayon de convergence ∞.
Pour chercher une autre solution, reprenons les calculs précédents avec α=−p et p1 : les
relations s’écrivent (−2p+1)a 1 = 0 et a k−2 + k(−2p+k)a k = 0 pour tout k 2. On en tire
a 1 = 0 et comme −2p+k = 0 pour k impair, il vient encore successivement a 1 = a 3 = · · · =
a 2i+1 = 0 pour tout i 0. En prenant k = 2p, la seconde relation donne a 2p−2 = 0, et par
suite a 2p−2 =a 2p−4 =· · ·=a 0 =0. Pour 2k>2p, on a a 2k =
−a 2k−2
2k(2k−2p)
et pour i0, les coefficients d’indice 2p+2i sont déterminés par a 2p : on a a 2p+2i =
(−1)
i
2
2i (p+1) · · · (p+i)i!
a 2p
pour tout i 0. Puisqu’on a pris α = −p, la solution obtenue est
a 2p x
−p
+∞
i=0
(−1)
i
2
2i (p+1) · · · (p+i)i!
x
2p+2i =2
p a 2p
+∞
i=0
(−1)
i
(p+1) · · · (p+i)i!
x
2
p+2i
=2
p a 2p J p (x)
Ainsi, on trouve une solution proportionnelle à J p : la méthode ne donne pas toutes
les solutions de l’équation différentielle.
La fonction J 0 . Rappelons que la fonction x → 1
π
π
0
cos(x sin θ) dθ est une solution de l’équation de Bessel (b 0 ) qui prend la valeur 1 en x = 0 (exercice 8 page 394)
et que les seules solutions définies en x = 0 sont proportionnelles à cette fonction
(exercice 4 page 473). La série entière J 0 prend la valeur 1 en x = 0 : c’est donc que
l’on a pour tout nombre réel x l’égalité
1
π
π
0
cos(x sin θ) dθ = J 0 (x) =
+∞
k=0
(−1)
k
(k!)
2
x
2
2k
= 1− x
2
2
2
+ x
4
2
2 4
2
− x
6
2
2 4
2 6
2
+ · · ·
Remarquons que la série est alternée. En dérivant terme à terme, on vérifie que
J
0 (x) = −J 1 (x).
2.4 Polynômes de Legendre
Étant donné un entier n 1, considérons l’équation différentielle de Legendre
(L n )
( 1 − x
2 )y
− 2xy
+ n(n + 1)y = 0
Cherchons des solutions sous forme d’une série entière y =
a k x
k .
® Dans 2xy
, le coefficient de x
k est 2ka k ,
® dans x
2 y
, le coefficient de x
k est k(k−1)a k ,
® et dans y
, le coefficient de x
k est (k+2)(k+1)a k+2 ,
donc on a pour tout k la relation (k+2)(k+1)a k+2 −k(k−1)a k −2ka k +n(n+1)a k = 0,
ou encore
(∗)
( k+2)(k+1)a k+2 = −(n−k)(n+k+1)a k
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 543