Les fonctions de Bessel
L’équation différentielle de Bessel est
(b α )
x
2 y
+ xy
+ (x
2
− α
2 )y = 0
où α est un nombre réel (exercice 6 page 474).
Cherchons une solution (non nulle) sous la forme y(x)=x
α
+∞
k=0 a k x
k =
+∞
k=0 a k x
k+α .
Dérivons pour x > 0 :
y
= αx
α−1
+∞
k=0
a k x
k + x
α
+∞
k=0
ka k x
k−1 =
+∞
k=0
(α+k)a k x
α+k−1
y
=
+∞
k=0
(α+k)(α+k−1)a k x
α+k−2
® Dans x
2 y, le coefficient de x
α+k est a k−2 pour k 2 et 0 sinon,
® dans α
2 y, le coefficient de x
α+k est α
2 a k ,
® dans xy
, le coefficient de x
α+k est (α+k)a k ,
® et dans x
2 y
, le coefficient de x
k+α est (α+k)(α+k−1)a k .
En écrivant que dans le premier membre de l’équation, le coefficient de x
k+α doit
être nul, on obtient (α+k)(α+k−1)a k + (α+k)a k + a k−2 − α
2 a k = 0 si k 2. Il vient
(2α+1)a 1 = 0
et a k−2 + k(2α+k)a k = 0 pour tout k 2.
Cas où 2α n'est pas entier. On a alors 2α+k = 0 pour tout k, donc aussi
a 1 = 0 d’après la première relation. Pour k = 3, 5, . . ., la seconde relation donne alors
a 3 = a 5 = · · · = 0 : les coefficients d’indices impairs sont tous nuls. Pour les coefficients
d’indices pairs, il vient
a 2k
a 2k−2
=
−1
2k(2α+2k)
, donc
a 2k =
(−1)
k a 0
2
2k k!(α+1)(α+2) · · · (α+k)
, pour tout k 1.
Puisque
a 2k
a 2k−2
tend vers 0 quand k tend vers +∞, le rayon de convergence de la
série
a k x
k est ∞. Finalement, en choisissant a 0 = 1, la fonction
J α (x) = x
α
+∞
k=0
(−1)
k
k!(α+1)(α+2) · · · (α+k)
x
2
2k
est solution de l’équation de Bessel (b α ) sur l’intervalle ]0, +∞[.
Supposons par exemple α > 0. Comme les équations (b α ) et (b −α ) sont les mêmes, on
trouve que si 2α n’est pas un entier, les fonctions J α et J −α sont solutions. Mais J α
est définie en 0, alors que J −α ne l’est pas. Ces fonctions ne sont donc pas proportionnelles : par conséquent, elles forment une base de solutions de (b α ), autrement dit :
si 2α n’est pas entier, les solutions de l’équation de Bessel (b α ) sur ]0, +∞[
sont les combinaisons λJ α +μJ −α , où λ et μ sont des constantes quelconques.
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ERES
L’équation différentielle de Bessel est
(b α )
x
2 y
+ xy
+ (x
2
− α
2 )y = 0
où α est un nombre réel (exercice 6 page 474).
Cherchons une solution (non nulle) sous la forme y(x)=x
α
+∞
k=0 a k x
k =
+∞
k=0 a k x
k+α .
Dérivons pour x > 0 :
y
= αx
α−1
+∞
k=0
a k x
k + x
α
+∞
k=0
ka k x
k−1 =
+∞
k=0
(α+k)a k x
α+k−1
y
=
+∞
k=0
(α+k)(α+k−1)a k x
α+k−2
® Dans x
2 y, le coefficient de x
α+k est a k−2 pour k 2 et 0 sinon,
® dans α
2 y, le coefficient de x
α+k est α
2 a k ,
® dans xy
, le coefficient de x
α+k est (α+k)a k ,
® et dans x
2 y
, le coefficient de x
k+α est (α+k)(α+k−1)a k .
En écrivant que dans le premier membre de l’équation, le coefficient de x
k+α doit
être nul, on obtient (α+k)(α+k−1)a k + (α+k)a k + a k−2 − α
2 a k = 0 si k 2. Il vient
(2α+1)a 1 = 0
et a k−2 + k(2α+k)a k = 0 pour tout k 2.
Cas où 2α n'est pas entier. On a alors 2α+k = 0 pour tout k, donc aussi
a 1 = 0 d’après la première relation. Pour k = 3, 5, . . ., la seconde relation donne alors
a 3 = a 5 = · · · = 0 : les coefficients d’indices impairs sont tous nuls. Pour les coefficients
d’indices pairs, il vient
a 2k
a 2k−2
=
−1
2k(2α+2k)
, donc
a 2k =
(−1)
k a 0
2
2k k!(α+1)(α+2) · · · (α+k)
, pour tout k 1.
Puisque
a 2k
a 2k−2
tend vers 0 quand k tend vers +∞, le rayon de convergence de la
série
a k x
k est ∞. Finalement, en choisissant a 0 = 1, la fonction
J α (x) = x
α
+∞
k=0
(−1)
k
k!(α+1)(α+2) · · · (α+k)
x
2
2k
est solution de l’équation de Bessel (b α ) sur l’intervalle ]0, +∞[.
Supposons par exemple α > 0. Comme les équations (b α ) et (b −α ) sont les mêmes, on
trouve que si 2α n’est pas un entier, les fonctions J α et J −α sont solutions. Mais J α
est définie en 0, alors que J −α ne l’est pas. Ces fonctions ne sont donc pas proportionnelles : par conséquent, elles forment une base de solutions de (b α ), autrement dit :
si 2α n’est pas entier, les solutions de l’équation de Bessel (b α ) sur ]0, +∞[
sont les combinaisons λJ α +μJ −α , où λ et μ sont des constantes quelconques.
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