2.3 Calculs de solutions d'équations différentielles
De nombreuses solutions d’équations différentielles peuvent s’exprimer sous la forme
d’une série entière. Si la fonction inconnue s’appelle y, on fait la substitution y=
a k x
k
dans l’équation différentielle et l’on identifie les coefficients de chaque puissance de x.
Exemple. Posons f (x) = (1+x)
α . Puisque f
(x)=α(1+x)
α−1 = α
1+x
f (x) la fonction
f est solution de l’équation différentielle
(∗)
( 1 + x)y
= αy
C’est la seule solution telle que f (0) = 1. Posons y =
a k x
k et remplaçons dans (∗) :
® dans αy, le coefficient de x
k est αa k ,
® dans y
, le coefficient de x
k est (k+1)a k+1 ,
® dans xy
, le coefficient de x
k est ka k ,
donc il vient (k+1)a k+1 + ka k = αa k pour tout k. Pour k = 0, 1, . . . , n, on obtient
a 1 = αa 0
2a 2 = (α−1)a 1
. . . . . .
na n = (α−n+1)a n−1 , d’où en multipliant membre à membre
(n!)a n = α(α−1)(α−2) · · · (α−n+1)a 0 et a n =
α(α−1) · · · (α−n+1)
n!
a 0 .
Puisque a 0 = f (0) = 1, on en déduit le développement
(1+x)
α = 1 + αx +
α(α−1)
2!
x
2 + · · · +
α(α−1) · · · (α−n+1)
n!
x
n + · · ·
Si α est un entier p 0, le coefficient a p+1 est nul, donc a k = 0 quel que soit k > p :
dans ce cas, selon la formule du binôme, la série est simplement le polynôme
(1+x)
p = 1+
p
1
x+
p
2
x
2 + · · · +
p
k
x
k + · · · +
p
p
x
p .
Dans le cas général, aucun coefficient a k n’est nul et
a n
a n−1
=
|α−n+1|
n
tend vers
1 quand n tend vers +∞, donc le rayon de convergence est 1.
Voici les cas particuliers de cette formule pour α = −1/2 et pour α = 1/2.
1
√
1−x
= 1 + 1
2
x + 1 · 3
2 · 4
x
2 + 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6
x
3 + · · · +
1 · 3 · · · (2n−1)
2 · 4 · · · 2n
x
n + · · · R = 1
√
1−x = 1 − 1
2
x − 1
2 · 4
x
2
− 1 · 3
2 · 4 · 6
x
3
− · · · −
1 · 3 · · · (2n−3)
2 · 4 · · · 2n
x
n + · · · R = 1
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 541
De nombreuses solutions d’équations différentielles peuvent s’exprimer sous la forme
d’une série entière. Si la fonction inconnue s’appelle y, on fait la substitution y=
a k x
k
dans l’équation différentielle et l’on identifie les coefficients de chaque puissance de x.
Exemple. Posons f (x) = (1+x)
α . Puisque f
(x)=α(1+x)
α−1 = α
1+x
f (x) la fonction
f est solution de l’équation différentielle
(∗)
( 1 + x)y
= αy
C’est la seule solution telle que f (0) = 1. Posons y =
a k x
k et remplaçons dans (∗) :
® dans αy, le coefficient de x
k est αa k ,
® dans y
, le coefficient de x
k est (k+1)a k+1 ,
® dans xy
, le coefficient de x
k est ka k ,
donc il vient (k+1)a k+1 + ka k = αa k pour tout k. Pour k = 0, 1, . . . , n, on obtient
a 1 = αa 0
2a 2 = (α−1)a 1
. . . . . .
na n = (α−n+1)a n−1 , d’où en multipliant membre à membre
(n!)a n = α(α−1)(α−2) · · · (α−n+1)a 0 et a n =
α(α−1) · · · (α−n+1)
n!
a 0 .
Puisque a 0 = f (0) = 1, on en déduit le développement
(1+x)
α = 1 + αx +
α(α−1)
2!
x
2 + · · · +
α(α−1) · · · (α−n+1)
n!
x
n + · · ·
Si α est un entier p 0, le coefficient a p+1 est nul, donc a k = 0 quel que soit k > p :
dans ce cas, selon la formule du binôme, la série est simplement le polynôme
(1+x)
p = 1+
p
1
x+
p
2
x
2 + · · · +
p
k
x
k + · · · +
p
p
x
p .
Dans le cas général, aucun coefficient a k n’est nul et
a n
a n−1
=
|α−n+1|
n
tend vers
1 quand n tend vers +∞, donc le rayon de convergence est 1.
Voici les cas particuliers de cette formule pour α = −1/2 et pour α = 1/2.
1
√
1−x
= 1 + 1
2
x + 1 · 3
2 · 4
x
2 + 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6
x
3 + · · · +
1 · 3 · · · (2n−1)
2 · 4 · · · 2n
x
n + · · · R = 1
√
1−x = 1 − 1
2
x − 1
2 · 4
x
2
− 1 · 3
2 · 4 · 6
x
3
− · · · −
1 · 3 · · · (2n−3)
2 · 4 · · · 2n
x
n + · · · R = 1
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 541