Exemple 1. Calculons la somme f (x) =
+∞
k=0
x
2k
2k+1
.
La série est absolument convergente si |x| < 1, car on a alors
x
2k
2k+1
|x|
2k et la
série géométrique
|x
2
|
k a pour raison |x|
2 < 1. Si x > 1, le terme général x
2k
2k+1
tend vers l’infini, donc la série ne converge pas.
Le rayon de convergence est donc 1 et la fonction f est définie sur ]−1, 1[.
Posons g(x) = xf (x), ou encore
g(x) =
+∞
k=0
x
2k+1
2k+1
= x + x
3
3
+ x
5
5
+ · · · + x
2n+1
2n+1
+ · · ·
En dérivant, il vient
g
(x) = 1 + x
2 + x
4 + · · · + x
2n + · · · = 1
1−x
2
= 1
2
1
1+x
+ 1
1−x
donc g(x) = 1
2
[ln(1+x) − ln(1−x)] et f (x) = 1
2x
ln
1+x
1−x
. Cette expression est bien
définie en x = 0 : en effet,
ln
1+x
1−x
∼
x→0
2x, donc lim
x→0
1
2x
ln
1+x
1−x
= 1 = f (0).
Exemple 2. Développons en série entière la fonction g(x) =
x
0
1
t
sin(at
2 ) dt.
Quand t tend vers 0, 1
t
sin(at
2 ) ∼ at
2
t
= at, donc la fonction sous le signe intégrale
est continue en 0. Son développement est
1
t
sin(at
2 ) = 1
t
at
2
−
(at
2 )
3
3!
+ · · · + (−1)
n (at
2 )
2n+1
(2n+1)!
+ · · ·
= at − a
3 t
5
3!
+ · · · + (−1)
n a
2n+1 t
4n+1
(2n+1)!
+ · · ·
et le rayon de convergence est ∞. D’où en intégrant de 0 à x :
g(x) = a x
2
2
− a
3
3!
x
6
6
+ · · · + (−1)
n a
2n+1
(2n+1)!
x
4n+2
4n+2
+ · · ·
= ax
2
2
1 − a
2
3!
x
4
3
+ · · · + (−1)
n
a
2n
(2n+1)!
x
4n
2n+1
+ · · ·
avec un rayon de convergence ∞.
Comme la série est alternée, on sait que si l’on remplace sa somme par une somme
partielle, on fait une erreur moindre que le premier terme négligé.
x
0,4
1
graphe
de σ(x)
Ainsi dans le cas a = 1, si l’on pose σ(x) = x
2
2
− x
6
6(3!)
, alors
0 g(x) − σ(x)
|x|
10
1200
Entre −1 et 1, l’erreur commise en remplaçant g(x) par le polynôme
σ(x) est moindre que 10
−3 .
540 – S ´
ERIES ENTI `
ERES
+∞
k=0
x
2k
2k+1
.
La série est absolument convergente si |x| < 1, car on a alors
x
2k
2k+1
|x|
2k et la
série géométrique
|x
2
|
k a pour raison |x|
2 < 1. Si x > 1, le terme général x
2k
2k+1
tend vers l’infini, donc la série ne converge pas.
Le rayon de convergence est donc 1 et la fonction f est définie sur ]−1, 1[.
Posons g(x) = xf (x), ou encore
g(x) =
+∞
k=0
x
2k+1
2k+1
= x + x
3
3
+ x
5
5
+ · · · + x
2n+1
2n+1
+ · · ·
En dérivant, il vient
g
(x) = 1 + x
2 + x
4 + · · · + x
2n + · · · = 1
1−x
2
= 1
2
1
1+x
+ 1
1−x
donc g(x) = 1
2
[ln(1+x) − ln(1−x)] et f (x) = 1
2x
ln
1+x
1−x
. Cette expression est bien
définie en x = 0 : en effet,
ln
1+x
1−x
∼
x→0
2x, donc lim
x→0
1
2x
ln
1+x
1−x
= 1 = f (0).
Exemple 2. Développons en série entière la fonction g(x) =
x
0
1
t
sin(at
2 ) dt.
Quand t tend vers 0, 1
t
sin(at
2 ) ∼ at
2
t
= at, donc la fonction sous le signe intégrale
est continue en 0. Son développement est
1
t
sin(at
2 ) = 1
t
at
2
−
(at
2 )
3
3!
+ · · · + (−1)
n (at
2 )
2n+1
(2n+1)!
+ · · ·
= at − a
3 t
5
3!
+ · · · + (−1)
n a
2n+1 t
4n+1
(2n+1)!
+ · · ·
et le rayon de convergence est ∞. D’où en intégrant de 0 à x :
g(x) = a x
2
2
− a
3
3!
x
6
6
+ · · · + (−1)
n a
2n+1
(2n+1)!
x
4n+2
4n+2
+ · · ·
= ax
2
2
1 − a
2
3!
x
4
3
+ · · · + (−1)
n
a
2n
(2n+1)!
x
4n
2n+1
+ · · ·
avec un rayon de convergence ∞.
Comme la série est alternée, on sait que si l’on remplace sa somme par une somme
partielle, on fait une erreur moindre que le premier terme négligé.
x
0,4
1
graphe
de σ(x)
Ainsi dans le cas a = 1, si l’on pose σ(x) = x
2
2
− x
6
6(3!)
, alors
0 g(x) − σ(x)
|x|
10
1200
Entre −1 et 1, l’erreur commise en remplaçant g(x) par le polynôme
σ(x) est moindre que 10
−3 .
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ERIES ENTI `
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