Pour démontrer ces formules, on pratique la dérivation et l’intégration, comme on
l’a fait au chapitre 10 pour calculer les développements limités usuels.
1) Le développement de 1
a−z
= 1
a
1
1−(z/a)
est simplement le produit par 1
a de la
somme d’une série géométrique dont la raison z/a est de module |z/a| < 1. En intégrant
pour x réel le développement
1
1+x
= 1−x+x
2
−x
3 + · · · +(−1)
n x
n + · · · de rayon 1,
on trouve celui de ln(1+x) qui a donc même rayon de convergence R = 1.
2) Soit a un nombre complexe. La série entière
a
k
k!
x
k =
(ax)
k
k!
est convergente
pour tout réel x (exemple page 532), donc son rayon de convergence est ∞. Posons
f (x) =
+∞
k=0
a
k
k!
x
k = 1+ax+ a
2
2
x
2 + · · · + a
n
n!
x
n + · · ·. En dérivant, il vient
f
(x) = a+a
2 x+ a
3
2
x
2 + · · · + a
n
(n−1)!
x
n−1 + · · ·
= a
1+ax+ a
2
2
x+ · · · + a
n−1
(n−1)!
x
n−1 + · · ·
= af (x)
donc f est solution de l’équation différentielle y
= ay. Or les solutions de cette équation
sont les fonctions λe
ax (remarque page 444). Puisqu’on a f (0) = 1, il vient f (x) = e
ax .
En particulier, on a
+∞
k=0
a
k
k!
= f (1) = e
a , et cela quel que soit a complexe. Il suffit de
substituer z à a pour avoir le développement en série entière de la fonction e
z formulé
dans le tableau.
3) En prenant a = i puis a = − i, on obtient pour tout x réel
e
i x =
+∞
k=0
i
k
k!
x
k = 1+ i x− 1
2
x
2 − i
3!
x
3 + 1
4!
x
4 + · · · + i
n
n!
x
n + · · ·
e
− i x =
+∞
k=0
(−1)
k i
k
k!
x
k = 1− i x− 1
2
x
2 + i
3!
x
3 + 1
4!
x
4 + · · · +
(−1)
n i
n
n!
x
n + · · ·
Ajoutons ces deux séries entières : les puissances impaires de x s’annulent et les puissances
paires sont les mêmes, donc il reste e
i x +e
− i x = 2
1− 1
2
x
2 + 1
4!
x
4 + · · · +
(−1)
n
(2n)!
x
2n + · · ·
et l’on trouve ainsi le développement en série entière de cos x.
Pour avoir celui de sin x, il suffit de soustraire les deux séries entières.
4) La dérivée de Arc tan x est
1
1+x
2
et pour |x| < 1, on a le développement en série
entière
1
1+x
2
= 1−x
2 +x
4 + · · · +(−1)
n x
2n + · · · en remplaçant x par x
2 dans le développement de 1
1+x
. Intégrons terme à terme et tenons compte de Arc tan(0) = 0 : on
trouve le développement de Arc tan x et le rayon de convergence est encore 1.
5) Nous calculerons le développement de (1+x)
α dans l’exemple page 541.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 539
l’a fait au chapitre 10 pour calculer les développements limités usuels.
1) Le développement de 1
a−z
= 1
a
1
1−(z/a)
est simplement le produit par 1
a de la
somme d’une série géométrique dont la raison z/a est de module |z/a| < 1. En intégrant
pour x réel le développement
1
1+x
= 1−x+x
2
−x
3 + · · · +(−1)
n x
n + · · · de rayon 1,
on trouve celui de ln(1+x) qui a donc même rayon de convergence R = 1.
2) Soit a un nombre complexe. La série entière
a
k
k!
x
k =
(ax)
k
k!
est convergente
pour tout réel x (exemple page 532), donc son rayon de convergence est ∞. Posons
f (x) =
+∞
k=0
a
k
k!
x
k = 1+ax+ a
2
2
x
2 + · · · + a
n
n!
x
n + · · ·. En dérivant, il vient
f
(x) = a+a
2 x+ a
3
2
x
2 + · · · + a
n
(n−1)!
x
n−1 + · · ·
= a
1+ax+ a
2
2
x+ · · · + a
n−1
(n−1)!
x
n−1 + · · ·
= af (x)
donc f est solution de l’équation différentielle y
= ay. Or les solutions de cette équation
sont les fonctions λe
ax (remarque page 444). Puisqu’on a f (0) = 1, il vient f (x) = e
ax .
En particulier, on a
+∞
k=0
a
k
k!
= f (1) = e
a , et cela quel que soit a complexe. Il suffit de
substituer z à a pour avoir le développement en série entière de la fonction e
z formulé
dans le tableau.
3) En prenant a = i puis a = − i, on obtient pour tout x réel
e
i x =
+∞
k=0
i
k
k!
x
k = 1+ i x− 1
2
x
2 − i
3!
x
3 + 1
4!
x
4 + · · · + i
n
n!
x
n + · · ·
e
− i x =
+∞
k=0
(−1)
k i
k
k!
x
k = 1− i x− 1
2
x
2 + i
3!
x
3 + 1
4!
x
4 + · · · +
(−1)
n i
n
n!
x
n + · · ·
Ajoutons ces deux séries entières : les puissances impaires de x s’annulent et les puissances
paires sont les mêmes, donc il reste e
i x +e
− i x = 2
1− 1
2
x
2 + 1
4!
x
4 + · · · +
(−1)
n
(2n)!
x
2n + · · ·
et l’on trouve ainsi le développement en série entière de cos x.
Pour avoir celui de sin x, il suffit de soustraire les deux séries entières.
4) La dérivée de Arc tan x est
1
1+x
2
et pour |x| < 1, on a le développement en série
entière
1
1+x
2
= 1−x
2 +x
4 + · · · +(−1)
n x
2n + · · · en remplaçant x par x
2 dans le développement de 1
1+x
. Intégrons terme à terme et tenons compte de Arc tan(0) = 0 : on
trouve le développement de Arc tan x et le rayon de convergence est encore 1.
5) Nous calculerons le développement de (1+x)
α dans l’exemple page 541.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
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