En dérivant ou en intégrant une série entière, on ne change pas son rayon de convergence.
Pour visualiser plus facilement la somme d’une série entière, notons-la sous la forme
+∞
k=0
a k z
k = a 0 +a 1 z+a 2 z
2 + · · · +a n z
n + · · ·
les trois points terminaux signifiant qu’on passe à la limite quand n tend vers +∞.
Série entière et développement limité. Puisque la dérivée d’une série entière
de rayon de convergence R > 0 est une série entière de même rayon, on peut dériver
sa somme autant de fois qu’on veut sur l’intervalle ]−R, R[.
Si f (x) = a 0 +a 1 x+a 2 x
2 +a 3 x
3 + · · · +a n x
n + · · ·, alors
f
(x) = a 1 +2a 2 x+3a 3 x
2 + · · · +na n x
n−1 + · · ·
f
(x) = 2a 2 +3 · 2 x+4 · 3 x
2 + · · · + · · · +n(n−1)x
n−2 + · · ·
d’où f (0) = a 0 , f
(0) = a 1 , f
(0) = 2a 2 et f
(p) (0) = p! a p , pour tout entier p 0.
D’après la formule de Taylor-Young (page 301), on en déduit les résultats suivants.
® Si une fonction f est la somme d’une série entière, cette série est unique.
® Si f (x) =
+∞
k=0 a k x
k , le développement limité de f à l’ordre n au point 0 est
a 0 +a 1 x+a 2 x
2 + · · · +a n x
n +o(x
n ).
2.2 Développement en série entière
Nous allons voir que les fonctions usuelles s’expriment généralement comme la
somme d’une série entière, du moins au voisinage d’un point.
Principaux développements en série entière
Fonction
Développement
R
1
a−z
=
+∞
k=0
z
k
a
k+1
= 1
a
+ z
a
2
+ z
2
a
3
+ z
3
a
4
+···+ z
n
a
n+1
+···
|a|
ln(1+x)=
+∞
k=1
(−1)
k+1
k
x
k =x− 1
2
x
2 + 1
3
x
3 +···+
(−1)
n+1
n
x
n +···
1
e
z =
+∞
k=0
z
k
k!
=1+z+ 1
2!
z
2 + 1
3!
z
3 +···+ 1
n!
z
n +···
∞
sinx=
+∞
k=0
(−1)
k
(2k+1)!
x
2k+1 =x− 1
3!
x
3 + 1
5!
x
5 +···+
(−1)
n
(2n+1)!
x
2n+1 +···
∞
cosx=
+∞
k=0
(−1)
k
(2k)!
x
2k =1− 1
2!
x
2 + 1
4!
x
4 +···+
(−1)
n
(2n)!
x
2n +···
∞
Arctanx=
+∞
k=1
(−1)
k+1
2k+1
x
2k+1 =x− 1
3
x
3 + 1
5
x
5 +···+
(−1)
n+1
2n+1
x
2n+1 +···
1
(1+x)
α = 1+αx+
α(α−1)
2!
x
2 +
α(α−1)(α−2)
3!
x
3 +···+
α(α−1)···(α−n+1)
n!
x
n +··· 1
538 – S ´
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