Intégration et dérivation d'une série entière
Proposition. Soit
a k z
k une série entière de rayon R > 0. Pour tout x ∈ ]−R,R[, on a
x
0
+∞
k=0
a k t
k
dt =
+∞
k=0
a k
k+1
x
k+1
et d
dx
+∞
k=0
a k x
k
=
+∞
k=1
ka k x
k−1
Pour intégrer ou dériver la somme d’une série entière sur l’intervalle de convergence,
on dérive ou on intègre terme à terme, comme pour une somme ne comportant qu’un
nombre fini de termes.
Démonstration. Montrons d’abord la formule d’intégration. Pour tout t ∈ ]−R, R[, appelons
s n (t)=a 0 +a 1 t+· · ·+a n t
n les sommes partielles de la série et f (t)=lims n (t) la somme. Puisque
la fonction f est continue, elle est intégrable entre 0 et x ∈ ]−R, R[. Posons F (x) =
x
0
f (t) dt
et S n (x) =
x
0
s n (t) dt =
n
k=0
a k
k+1
x
k+1 . On sait qu’il existe une série géométrique Mb
k
convergente, avec 0 < b < 1, telle que |a k t
k
| Mb
k pour tout k et pour tout t entre 0 et x.
Il vient alors
a k
k+1
t
k+1
|t||a k t
k
| RM b
k donc la série entière
a k
k+1
t
k+1 est absolument
convergente pour t entre 0 et x. On en déduit
F (x) − S n (x) =
x
0
f (t)−s n (t)
dt =
x
0
+∞
k=n+1
a k
k+1
t
k+1
dt
Utilisons l’inégalité
x
0
ϕ(t) dt
x
0
|ϕ(t)| dt
et que pour une série
u k absolument
convergente, on a
+∞
k=0 u k
+∞
k=0 |u k | (page 531). Il vient
F (x) − S n (x)
x
0
+∞
k=n+1
a k
k+1
t
k+1
dt
x
0
+∞
k=n+1
RM b
k
dt
En sommant la série géométrique, on obtient
F (x)−S n (x)
x
0
RM b
n+1
1−b
dt
=
RM |x|
1−b
b
n+1 .
Quand n tend vers l’infini, b
n+1 tend vers 0 et donc S n (x) tend vers F (x), ce qu’il fallait
démontrer.
Pour montrer la formule de dérivation, il suffit de pouvoir appliquer la formule d’intégration à la série dérivée
ka k z
k−1 . Nous devons donc seulement montrer que son rayon de
convergence est au moins R. Soit z un nombre complexe tel que 0 < |z| < R et r tel que
0 < |z| < r < R. Il y a une série géométrique convergente Mb
k , avec 0 < b < 1, telle que
|a k z
k
| Mb
k pour tout k, donc
ka k z
k
Mkb
k . Pour la série de terme général u k = Mkb
k ,
on a
u k+1
u k
=
k+1
k
b, expression qui tend vers b < 1, donc
u k est convergente. On en déduit
que la série
ka k z
k est absolument convergente, et en la multipliant par 1/z, que la série
ka k z
k−1 est convergente, d’où le résultat.
Si l’on note R d le rayon de convergence de la série dérivée, cette démonstration prouve que
l’on a R d R. Appliquons cela à la série intégrée, en notant R i son rayon de convergence :
en la dérivant, on obtient la série de départ, donc R R i . Mais comme la série intégrée
converge pour |z| < R, on a aussi R i R, donc finalement R i = R : en intégrant une série
entière, on ne change pas son rayon de convergence ; donc en dérivant, non plus.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 537
Proposition. Soit
a k z
k une série entière de rayon R > 0. Pour tout x ∈ ]−R,R[, on a
x
0
+∞
k=0
a k t
k
dt =
+∞
k=0
a k
k+1
x
k+1
et d
dx
+∞
k=0
a k x
k
=
+∞
k=1
ka k x
k−1
Pour intégrer ou dériver la somme d’une série entière sur l’intervalle de convergence,
on dérive ou on intègre terme à terme, comme pour une somme ne comportant qu’un
nombre fini de termes.
Démonstration. Montrons d’abord la formule d’intégration. Pour tout t ∈ ]−R, R[, appelons
s n (t)=a 0 +a 1 t+· · ·+a n t
n les sommes partielles de la série et f (t)=lims n (t) la somme. Puisque
la fonction f est continue, elle est intégrable entre 0 et x ∈ ]−R, R[. Posons F (x) =
x
0
f (t) dt
et S n (x) =
x
0
s n (t) dt =
n
k=0
a k
k+1
x
k+1 . On sait qu’il existe une série géométrique Mb
k
convergente, avec 0 < b < 1, telle que |a k t
k
| Mb
k pour tout k et pour tout t entre 0 et x.
Il vient alors
a k
k+1
t
k+1
|t||a k t
k
| RM b
k donc la série entière
a k
k+1
t
k+1 est absolument
convergente pour t entre 0 et x. On en déduit
F (x) − S n (x) =
x
0
f (t)−s n (t)
dt =
x
0
+∞
k=n+1
a k
k+1
t
k+1
dt
Utilisons l’inégalité
x
0
ϕ(t) dt
x
0
|ϕ(t)| dt
et que pour une série
u k absolument
convergente, on a
+∞
k=0 u k
+∞
k=0 |u k | (page 531). Il vient
F (x) − S n (x)
x
0
+∞
k=n+1
a k
k+1
t
k+1
dt
x
0
+∞
k=n+1
RM b
k
dt
En sommant la série géométrique, on obtient
F (x)−S n (x)
x
0
RM b
n+1
1−b
dt
=
RM |x|
1−b
b
n+1 .
Quand n tend vers l’infini, b
n+1 tend vers 0 et donc S n (x) tend vers F (x), ce qu’il fallait
démontrer.
Pour montrer la formule de dérivation, il suffit de pouvoir appliquer la formule d’intégration à la série dérivée
ka k z
k−1 . Nous devons donc seulement montrer que son rayon de
convergence est au moins R. Soit z un nombre complexe tel que 0 < |z| < R et r tel que
0 < |z| < r < R. Il y a une série géométrique convergente Mb
k , avec 0 < b < 1, telle que
|a k z
k
| Mb
k pour tout k, donc
ka k z
k
Mkb
k . Pour la série de terme général u k = Mkb
k ,
on a
u k+1
u k
=
k+1
k
b, expression qui tend vers b < 1, donc
u k est convergente. On en déduit
que la série
ka k z
k est absolument convergente, et en la multipliant par 1/z, que la série
ka k z
k−1 est convergente, d’où le résultat.
Si l’on note R d le rayon de convergence de la série dérivée, cette démonstration prouve que
l’on a R d R. Appliquons cela à la série intégrée, en notant R i son rayon de convergence :
en la dérivant, on obtient la série de départ, donc R R i . Mais comme la série intégrée
converge pour |z| < R, on a aussi R i R, donc finalement R i = R : en intégrant une série
entière, on ne change pas son rayon de convergence ; donc en dérivant, non plus.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
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