La série somme
(a k +b k )z
k et la série produit
c k z
k ont un rayon de convergence
supérieur ou égal à ρ = min{R, R
}. Pour |z| < ρ, on a
+∞
k=0
(a k +b k )z
k =
+∞
k=0
a k z
k +
+∞
k=0
b k z
k
et
+∞
k=0
c k z
k =
+∞
k=0
a k z
k
+∞
k=0
b k z
k
Propriétés de la somme d'une série entière
Soit
a k z
k une série entière de rayon de convergence R > 0. Sa somme f (z) est
définie si le module de z est strictement inférieur à R, autrement dit
la somme d’une série entière de rayon R > 0 est une fonction définie sur le disque
ouvert D(O, R) = {z ∈ C | |z| < R}, qu’on appelle le disque de convergence.
Quand on s’en tient à des valeurs réelles de la variable, la somme de la série est
définie dans l’intervalle ouvert ]−R, R[.
Les propriétés de la somme f (z) reposent sur l’existence d’une même « série majorante » lorsque |z| décrit un segment [−r, r] inclus dans ]−R, R[ :
Si r est un nombre tel que 0
k
où 0 < b < 1, telle qu’on ait |a k z
k
| Mb
k pour tout k et pour tout z vérifiant |z| r.
Choisissons en effet ρ tel que r < ρ < R. Puisque ρ < R, la suite |a k |ρ
k tend vers 0,
donc on peut la majorer par un certain nombre M . Si |z| r, alors on a
|a k z
k
| |a k |r
k = |a k |ρ
k
r
ρ
k Mb
k , avec b = r
ρ < 1.
En utilisant cette propriété, montrons par exemple que la fonction f est continue en
tout point z 0 du disque de convergence D.
Pour z ∈D, on a f (z)−f (z 0 )=
+∞
k=0 a k (z
k
−z
k
0 ). Puisque |a k ||z
k
−z
k
0 ||a k ||z|
k +|a k ||z 0 |
k ,
la série
+∞
k=0 |a k | |z
k
−z
k
0 | est convergente, d’où
(1)
f (z)−f (z 0 )
+∞
k=0
|a k | |z
k −z
k
0 | =
K
k=0
|a k | |z
k −z
k
0 | +
+∞
k=K+1
|a k | |z
k −z
k
0 |
Prenons r tel que |z 0 | < r < R. Un nombre ε > 0 étant donné, commençons par choisir
un entier K tel que
+∞
k=K+1 Mb
k
ε/2, ce qui est possible puisque la série
Mb
k
converge. En utilisant à nouveau l’inégalité |z
k
−z
k
0 | |z|
k +|z 0 |
k , il vient pour |z| < r :
(2)
+∞
k=K+1
|a k | |z
k −z
k
0 |
+∞
k=K+1
2|a k |r
k
+∞
k=K+1
2Mb
k ε
Les écarts |z
k
−z
k
0 |, pour k = 0, 1, . . . , K , peuvent être rendus aussi petits qu’on veut
en prenant z assez proche de z 0 , car une fonction puissance est continue. La somme
K
k=0 |a k | |z
k
−z
k
0 | est donc aussi petite qu’on veut pourvu que |z−z 0 | soit assez petit
et d’après (1) et (2), il en va de même de l’écart
f (z)−f (z 0 )
.
536 – S ´
ERIES ENTI `
ERES
(a k +b k )z
k et la série produit
c k z
k ont un rayon de convergence
supérieur ou égal à ρ = min{R, R
}. Pour |z| < ρ, on a
+∞
k=0
(a k +b k )z
k =
+∞
k=0
a k z
k +
+∞
k=0
b k z
k
et
+∞
k=0
c k z
k =
+∞
k=0
a k z
k
+∞
k=0
b k z
k
Propriétés de la somme d'une série entière
Soit
a k z
k une série entière de rayon de convergence R > 0. Sa somme f (z) est
définie si le module de z est strictement inférieur à R, autrement dit
la somme d’une série entière de rayon R > 0 est une fonction définie sur le disque
ouvert D(O, R) = {z ∈ C | |z| < R}, qu’on appelle le disque de convergence.
Quand on s’en tient à des valeurs réelles de la variable, la somme de la série est
définie dans l’intervalle ouvert ]−R, R[.
Les propriétés de la somme f (z) reposent sur l’existence d’une même « série majorante » lorsque |z| décrit un segment [−r, r] inclus dans ]−R, R[ :
Si r est un nombre tel que 0
k
où 0 < b < 1, telle qu’on ait |a k z
k
| Mb
k pour tout k et pour tout z vérifiant |z| r.
Choisissons en effet ρ tel que r < ρ < R. Puisque ρ < R, la suite |a k |ρ
k tend vers 0,
donc on peut la majorer par un certain nombre M . Si |z| r, alors on a
|a k z
k
| |a k |r
k = |a k |ρ
k
r
ρ
k Mb
k , avec b = r
ρ < 1.
En utilisant cette propriété, montrons par exemple que la fonction f est continue en
tout point z 0 du disque de convergence D.
Pour z ∈D, on a f (z)−f (z 0 )=
+∞
k=0 a k (z
k
−z
k
0 ). Puisque |a k ||z
k
−z
k
0 ||a k ||z|
k +|a k ||z 0 |
k ,
la série
+∞
k=0 |a k | |z
k
−z
k
0 | est convergente, d’où
(1)
f (z)−f (z 0 )
+∞
k=0
|a k | |z
k −z
k
0 | =
K
k=0
|a k | |z
k −z
k
0 | +
+∞
k=K+1
|a k | |z
k −z
k
0 |
Prenons r tel que |z 0 | < r < R. Un nombre ε > 0 étant donné, commençons par choisir
un entier K tel que
+∞
k=K+1 Mb
k
ε/2, ce qui est possible puisque la série
Mb
k
converge. En utilisant à nouveau l’inégalité |z
k
−z
k
0 | |z|
k +|z 0 |
k , il vient pour |z| < r :
(2)
+∞
k=K+1
|a k | |z
k −z
k
0 |
+∞
k=K+1
2|a k |r
k
+∞
k=K+1
2Mb
k ε
Les écarts |z
k
−z
k
0 |, pour k = 0, 1, . . . , K , peuvent être rendus aussi petits qu’on veut
en prenant z assez proche de z 0 , car une fonction puissance est continue. La somme
K
k=0 |a k | |z
k
−z
k
0 | est donc aussi petite qu’on veut pourvu que |z−z 0 | soit assez petit
et d’après (1) et (2), il en va de même de l’écart
f (z)−f (z 0 )
.
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