® Pour la série entière
2
k
k
z
k , on a a k = 2
k
k
et
|a k+1 |
|a k |
= 2 k
k+1
tend vers 2. Le
rayon de convergence est donc 1/2.
Pour z = 1/2, on obtient la série de Riemann
1
k
qui n’est pas convergente.
Pour z = −1/2, on obtient la série
(−1)
k
k
qui est une série alternée convergente,
mais pas absolument convergente.
Ainsi, lorsque z parcourt l’ensemble des nombres complexes de module R, la nature
de la série dépend de z.
® Considérons la série entière
z
2k
k
2 +1
. Puisque les coefficients des puissances impaires de z sont nuls, étudions la série de terme général u k = z
2k
k
2 +1
. On a
|u k+1 |
|u k |
=
k
2 +1
k
2 +2k+2
|z|
2 , expression qui tend vers |z|
2 . La série est donc absolument
convergente si |z| < 1 et n’est pas absolument convergente si |z| > 1 : on en déduit
que le rayon de convergence est 1.
Convention : Si r est un nombre réel quelconque, nous convenons que l’on a r < ∞,
donc aussi min{r, ∞} = r et max{r, ∞} = ∞. On pose également min{∞, ∞} = ∞ =
max{∞, ∞}.
2.1 Opérations sur les séries entières
Série somme et série produit
étant données deux séries entières
a k z
k et
b k z
k , la série
(a k +b k )z
k est une
série entière, ainsi que
(λa k )z
k pour tout nombre λ.
Soient R et R
les rayons de convergence des séries entières
a k z
k et
b k z
k . Si z
est un nombre complexe tel que |z| < R et |z| < R
, chacune des séries est absolument
convergente, donc aussi leur somme
(a k +b k )z
k . On en déduit que le rayon de convergence de la série
(a k +b k )z
k est au moins égal à min{R, R
}. Si λ est un nombre
non nul, les séries
a k z
k et
(λa k )z
k convergent pour les mêmes valeurs de z, donc
elles ont même rayon de convergence.
Définition
Soient
a k z
k et
b k z
k des séries entières. Leur produit est la série entière
c k z
k ,
où c k = a 0 b k +a 1 b k−1 + · · · +a k−1 b 1 +a k b 0 .
Le coefficient c k est celui qui est en facteur de z
k dans le produit
(a 0 +a 1 z+ · · · +a k z
k )(b 0 +b 1 z+ · · · +b k z
k )
des k-ièmes sommes partielles. Pour calculer c k , on développe donc ce produit en supprimant toutes les puissances de z supérieures à k, comme dans un développement
limité.
Soient
a k z
k et
b k z
k des séries entières de rayon R et R
.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 535
2
k
k
z
k , on a a k = 2
k
k
et
|a k+1 |
|a k |
= 2 k
k+1
tend vers 2. Le
rayon de convergence est donc 1/2.
Pour z = 1/2, on obtient la série de Riemann
1
k
qui n’est pas convergente.
Pour z = −1/2, on obtient la série
(−1)
k
k
qui est une série alternée convergente,
mais pas absolument convergente.
Ainsi, lorsque z parcourt l’ensemble des nombres complexes de module R, la nature
de la série dépend de z.
® Considérons la série entière
z
2k
k
2 +1
. Puisque les coefficients des puissances impaires de z sont nuls, étudions la série de terme général u k = z
2k
k
2 +1
. On a
|u k+1 |
|u k |
=
k
2 +1
k
2 +2k+2
|z|
2 , expression qui tend vers |z|
2 . La série est donc absolument
convergente si |z| < 1 et n’est pas absolument convergente si |z| > 1 : on en déduit
que le rayon de convergence est 1.
Convention : Si r est un nombre réel quelconque, nous convenons que l’on a r < ∞,
donc aussi min{r, ∞} = r et max{r, ∞} = ∞. On pose également min{∞, ∞} = ∞ =
max{∞, ∞}.
2.1 Opérations sur les séries entières
Série somme et série produit
étant données deux séries entières
a k z
k et
b k z
k , la série
(a k +b k )z
k est une
série entière, ainsi que
(λa k )z
k pour tout nombre λ.
Soient R et R
les rayons de convergence des séries entières
a k z
k et
b k z
k . Si z
est un nombre complexe tel que |z| < R et |z| < R
, chacune des séries est absolument
convergente, donc aussi leur somme
(a k +b k )z
k . On en déduit que le rayon de convergence de la série
(a k +b k )z
k est au moins égal à min{R, R
}. Si λ est un nombre
non nul, les séries
a k z
k et
(λa k )z
k convergent pour les mêmes valeurs de z, donc
elles ont même rayon de convergence.
Définition
Soient
a k z
k et
b k z
k des séries entières. Leur produit est la série entière
c k z
k ,
où c k = a 0 b k +a 1 b k−1 + · · · +a k−1 b 1 +a k b 0 .
Le coefficient c k est celui qui est en facteur de z
k dans le produit
(a 0 +a 1 z+ · · · +a k z
k )(b 0 +b 1 z+ · · · +b k z
k )
des k-ièmes sommes partielles. Pour calculer c k , on développe donc ce produit en supprimant toutes les puissances de z supérieures à k, comme dans un développement
limité.
Soient
a k z
k et
b k z
k des séries entières de rayon R et R
.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 535