Supposons par exemple que R est un nombre réel. Alors pour tout nombre complexe z
tel que 0 |z| < R, la série
|a k z
k
| =
|a k ||z|
k est convergente, donc la série entière
a k z
k est absolument convergente.
Montrons que si r > R, la suite a k r
k n’est pas majorée. Raisonnons par l’absurde en
supposant qu’il existe un nombre M > 0 tel que |a k |r
k
M pour tout k. Choisissons
un nombre ρ tel que R < ρ < r. On a alors |a k |ρ
k = |a k |r
k
ρ
r
k M
ρ
r
k
et comme
ρ
r < 1, la série géométrique
ρ
r
k
est convergente. Il s’ensuit que
|a k |ρ
k est convergente, ce qui est impossible puisque ρ > R.
On en déduit que si r > R, la suite a k z
k ne tend pas vers 0 : pour r > R, la série
a k z
k ne converge pas.
Théorème et définition. Soit
a k z
k une série entière.
® Ou bien la série est absolument convergente pour tout z et l’on pose dans ce cas R = ∞,
® ou bien il existe un nombre réel R 0 tel que la série est absolument convergente si
|z| < R et non convergente si |z| > R.
R s’appelle le rayon de convergence de la série entière
a k z
k .
Supposons que le rayon de convergence R est un nombre. Si |z| > R, la série ne
converge pas, donc ne converge pas absolument. Le rayon est donc caractérisé par
la propriété suivante : si |z| < R, il y a convergence absolue, et si |z| > R, il n’y a
pas convergence absolue.
Si l’on a trouvé un nombre R tel que la série converge absolument pour
|z| < R et ne converge pas absolument pour |z| > R, alors le rayon de
convergence est égal à R.
Calcul du rayon de convergence. Soit
a k z
k une série entière dont les coefficients a k sont non nuls.
® Si
|a k+1 |
|a k |
tend vers 0, alors le rayon de convergence est R = ∞.
® Si
|a k+1 |
|a k |
a une limite finie > 0, alors le rayon de convergence est 1
.
Démonstration. En posant u k = a k z
k , il vient
|u k+1 |
|u k |
=
|a k+1 |
|a k |
|z|. Supposons que
|a k+1 |
|a k |
a
une limite finie , donc
|u k+1 |
|u k |
tend vers |z|. Appliquons le critère de convergence (c). Si =0, la
série
|u k | converge quel que soit z, donc le rayon de convergence de
a k z
k est R=∞. Si >0,
cette série converge pour |z|<1, c’est-à-dire pour |z|<1//, et elle ne converge pas pour |z|>1// :
d’après la règle ci-dessus, c’est donc que le rayon de convergence de
a k z
k est R = 1//.
Exemples
® La série entière
z
k
k!
est absolument convergente pour tout z, donc son rayon
de convergence est ∞.
534 – S ´
ERIES ENTI `
ERES
tel que 0 |z| < R, la série
|a k z
k
| =
|a k ||z|
k est convergente, donc la série entière
a k z
k est absolument convergente.
Montrons que si r > R, la suite a k r
k n’est pas majorée. Raisonnons par l’absurde en
supposant qu’il existe un nombre M > 0 tel que |a k |r
k
M pour tout k. Choisissons
un nombre ρ tel que R < ρ < r. On a alors |a k |ρ
k = |a k |r
k
ρ
r
k M
ρ
r
k
et comme
ρ
r < 1, la série géométrique
ρ
r
k
est convergente. Il s’ensuit que
|a k |ρ
k est convergente, ce qui est impossible puisque ρ > R.
On en déduit que si r > R, la suite a k z
k ne tend pas vers 0 : pour r > R, la série
a k z
k ne converge pas.
Théorème et définition. Soit
a k z
k une série entière.
® Ou bien la série est absolument convergente pour tout z et l’on pose dans ce cas R = ∞,
® ou bien il existe un nombre réel R 0 tel que la série est absolument convergente si
|z| < R et non convergente si |z| > R.
R s’appelle le rayon de convergence de la série entière
a k z
k .
Supposons que le rayon de convergence R est un nombre. Si |z| > R, la série ne
converge pas, donc ne converge pas absolument. Le rayon est donc caractérisé par
la propriété suivante : si |z| < R, il y a convergence absolue, et si |z| > R, il n’y a
pas convergence absolue.
Si l’on a trouvé un nombre R tel que la série converge absolument pour
|z| < R et ne converge pas absolument pour |z| > R, alors le rayon de
convergence est égal à R.
Calcul du rayon de convergence. Soit
a k z
k une série entière dont les coefficients a k sont non nuls.
® Si
|a k+1 |
|a k |
tend vers 0, alors le rayon de convergence est R = ∞.
® Si
|a k+1 |
|a k |
a une limite finie > 0, alors le rayon de convergence est 1
.
Démonstration. En posant u k = a k z
k , il vient
|u k+1 |
|u k |
=
|a k+1 |
|a k |
|z|. Supposons que
|a k+1 |
|a k |
a
une limite finie , donc
|u k+1 |
|u k |
tend vers |z|. Appliquons le critère de convergence (c). Si =0, la
série
|u k | converge quel que soit z, donc le rayon de convergence de
a k z
k est R=∞. Si >0,
cette série converge pour |z|<1, c’est-à-dire pour |z|<1//, et elle ne converge pas pour |z|>1// :
d’après la règle ci-dessus, c’est donc que le rayon de convergence de
a k z
k est R = 1//.
Exemples
® La série entière
z
k
k!
est absolument convergente pour tout z, donc son rayon
de convergence est ∞.
534 – S ´
ERIES ENTI `
ERES