En effet, si l’on pose u k = z
k
k!
, alors
|u k+1 |
|u k |
=
z
k+1
z
k
k!
(k+1)!
=
|z|
k+1
tend vers 0
quand k tend vers +∞. On en déduit que la série
|u k | est convergente, autrement
dit : la série
u k est absolument convergente.
® Soit q un entier quelconque. Si z est un nombre complexe tel que |z| < 1, la série
k
q z
k est absolument convergente.
En posant u k = k
q z
k , le rapport
|u k+1 |
|u k |
=
k+1
k
q |z| tend vers |z| quand k tend vers
+∞. Si |z| < 1, la série
|u k | est convergente, donc
u k est absolument convergente.
® La série
k
2k
2 − k + 1
n’est pas convergente, car son terme général est équivalent
à 1
2k
et la série de Riemann
1
k
n’est pas convergente.
® La série
k
√
k 5 −1
est convergente, car
k
√
k 5 −1
∼ 1
k
3/2
.
® Si P et Q sont des polynômes non nuls tels que deg Q−deg P 2, la série
P (k)
Q(k)
est convergente.
En appelant p et q les degrés de P et Q, on a P (k) ∼ ak
p et Q(k) ∼ bk
q , où a
et b sont les coefficients dominant des polynômes. On en déduit
P (k)
Q(k)
∼ a
b
1
k
q−p
. La
série de Riemann
1
k
q−p
est convergente si et seulement si q−p > 1, c’est-à-dire si
et seulement si q−p 2, puisque p et q sont des entiers.
2. Séries entières
Définition
Une série de la forme
a k z
k , où z est un nombre réel ou complexe, s’appelle
une série entière.
Les sommes partielles de la série entière
a k z
k sont les expressions polynomiales
s n = a 0 +a 1 z+a 2 z
2 + · · · +a n z
n , car par convention, on pose z
0 = 1.
Exemples
® La série
z
k
k!
, de sommes partielles s n = 1+z+ z
2
2!
+ · · ·+ z
n
n!
, est une série entière.
® De même, la série de sommes partielles s n = z+ z
3
2
+ z
5
3
+ · · · + z
2n−1
n
est une série
entière
a k z
k : ses coefficients sont définis par a 2k = 0 pour k 0 et a 2k−1 = 1/k
pour tout k 1.
Une série entière
a k z
k converge toujours pour z = 0. Considérons l’ensemble I des
nombres réels r 0 pour lesquels la série
|a k |r
k converge. Soit r ∈ I et soit r
un
nombre tel que 0 r
r ; la série
|a k |r
k converge et puisqu’on a |a k |r
k
|a k |r
k ,
la série
|a k |r
k converge aussi, donc r
∈ I . Cela montre que si r ∈ I , alors I contient
l’intervalle [0, r]. On en déduit que I est un intervalle de la forme [0, R] ou bien [0, R[,
R pouvant, dans ce dernier cas, être le symbole +∞.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 533
k
k!
, alors
|u k+1 |
|u k |
=
z
k+1
z
k
k!
(k+1)!
=
|z|
k+1
tend vers 0
quand k tend vers +∞. On en déduit que la série
|u k | est convergente, autrement
dit : la série
u k est absolument convergente.
® Soit q un entier quelconque. Si z est un nombre complexe tel que |z| < 1, la série
k
q z
k est absolument convergente.
En posant u k = k
q z
k , le rapport
|u k+1 |
|u k |
=
k+1
k
q |z| tend vers |z| quand k tend vers
+∞. Si |z| < 1, la série
|u k | est convergente, donc
u k est absolument convergente.
® La série
k
2k
2 − k + 1
n’est pas convergente, car son terme général est équivalent
à 1
2k
et la série de Riemann
1
k
n’est pas convergente.
® La série
k
√
k 5 −1
est convergente, car
k
√
k 5 −1
∼ 1
k
3/2
.
® Si P et Q sont des polynômes non nuls tels que deg Q−deg P 2, la série
P (k)
Q(k)
est convergente.
En appelant p et q les degrés de P et Q, on a P (k) ∼ ak
p et Q(k) ∼ bk
q , où a
et b sont les coefficients dominant des polynômes. On en déduit
P (k)
Q(k)
∼ a
b
1
k
q−p
. La
série de Riemann
1
k
q−p
est convergente si et seulement si q−p > 1, c’est-à-dire si
et seulement si q−p 2, puisque p et q sont des entiers.
2. Séries entières
Définition
Une série de la forme
a k z
k , où z est un nombre réel ou complexe, s’appelle
une série entière.
Les sommes partielles de la série entière
a k z
k sont les expressions polynomiales
s n = a 0 +a 1 z+a 2 z
2 + · · · +a n z
n , car par convention, on pose z
0 = 1.
Exemples
® La série
z
k
k!
, de sommes partielles s n = 1+z+ z
2
2!
+ · · ·+ z
n
n!
, est une série entière.
® De même, la série de sommes partielles s n = z+ z
3
2
+ z
5
3
+ · · · + z
2n−1
n
est une série
entière
a k z
k : ses coefficients sont définis par a 2k = 0 pour k 0 et a 2k−1 = 1/k
pour tout k 1.
Une série entière
a k z
k converge toujours pour z = 0. Considérons l’ensemble I des
nombres réels r 0 pour lesquels la série
|a k |r
k converge. Soit r ∈ I et soit r
un
nombre tel que 0 r
r ; la série
|a k |r
k converge et puisqu’on a |a k |r
k
|a k |r
k ,
la série
|a k |r
k converge aussi, donc r
∈ I . Cela montre que si r ∈ I , alors I contient
l’intervalle [0, r]. On en déduit que I est un intervalle de la forme [0, R] ou bien [0, R[,
R pouvant, dans ce dernier cas, être le symbole +∞.
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ERIES, S ´
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ERES, S ´
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