Exemples
® La série alternée
(−1)
k
k
est convergente, mais elle n’est pas absolument convergente, car
(−1)
k
k
= 1
k
est le terme général d’une série de Riemann non convergente.
De même, la série
(−1)
k
√
k
est convergente, mais pas absolument convergente.
® Si α > 1, la série
e
i kx
k
α
est absolument convergente pour tout réel x : en effet,
on a
e
i kx
k
α
= 1
k
α et la série de Riemann
1
k
α est convergente.
Proposition. La somme de deux séries absolument convergentes est absolument convergente.
On a en effet |u k +v k | |u k |+|v k |. Si
|u k | et
|v k | convergent, alors leur somme
|u k |+|v k |
converge et, d’après le critère de comparaison, il en va de même de
|u k +v k |.
Critères de convergence pour les séries à termes réels positifs
Supposons u k > 0 pour tout k.
a) Si l’on a u k ∼
k→+∞
v k et si la série
v k converge, alors la série
u k converge.
b) Supposons que
k
√ u k tend vers une limite finie . Si < 1, la série
u k converge ; si
> 1, la série ne converge pas.
c) Supposons que
u k+1
u k
tend vers une limite finie . Si < 1, la série
u k converge ; si
> 1, la série ne converge pas.
Montrons le premier critère. Supposons lim (u k /v k ) = 1. Choisissons un nombre
> 1.
Pour tout k assez grand, on a u k /v k
, donc u k
v k car v k est positif pour k
assez grand. Si la série
v k converge, il en va de même de la série
(
v k ), donc,
par le théorème de comparaison, la série
u k converge.
Pour le deuxième critère, supposons < 1 et choisissons un nombre
tel que < <
< 1.
Par hypothèse, on a
k
√ u k
pour tout k assez grand, donc u k
k . La série géométrique
k a sa raison de module strictement inférieur à 1, donc est convergente.
D’après le théorème de comparaison, la série
u k est donc convergente. Supposons
maintenant > 1. On a alors
k
√ u k 1 pour tout k assez grand, donc aussi u k 1 et
u k ne tend pas vers 0 : la série n’est donc pas convergente.
Raisonnons de même pour le dernier critère en supposant d’abord < 1. Pour tout k
supérieur ou égal à un certain indice K , on a
u k+1
u k
. En multipliant ces inégalités
pour k = K, K+1, · · · , K+n, on obtient
u K+n
u K
n , donc u K+n u K
n pour tout
n 1. Comme la série géométrique de raison
est convergente, il en va de même, par
comparaison, de la série
u k . Si > 1, alors on a u k+1 u k pour tout k assez grand,
donc u k ne tend pas vers 0.
Exemples
® La série
z
k
k!
est absolument convergente quel que soit le nombre complexe z.
532 – S ´
ERIES NUM ´
ERIQUES
® La série alternée
(−1)
k
k
est convergente, mais elle n’est pas absolument convergente, car
(−1)
k
k
= 1
k
est le terme général d’une série de Riemann non convergente.
De même, la série
(−1)
k
√
k
est convergente, mais pas absolument convergente.
® Si α > 1, la série
e
i kx
k
α
est absolument convergente pour tout réel x : en effet,
on a
e
i kx
k
α
= 1
k
α et la série de Riemann
1
k
α est convergente.
Proposition. La somme de deux séries absolument convergentes est absolument convergente.
On a en effet |u k +v k | |u k |+|v k |. Si
|u k | et
|v k | convergent, alors leur somme
|u k |+|v k |
converge et, d’après le critère de comparaison, il en va de même de
|u k +v k |.
Critères de convergence pour les séries à termes réels positifs
Supposons u k > 0 pour tout k.
a) Si l’on a u k ∼
k→+∞
v k et si la série
v k converge, alors la série
u k converge.
b) Supposons que
k
√ u k tend vers une limite finie . Si < 1, la série
u k converge ; si
> 1, la série ne converge pas.
c) Supposons que
u k+1
u k
tend vers une limite finie . Si < 1, la série
u k converge ; si
> 1, la série ne converge pas.
Montrons le premier critère. Supposons lim (u k /v k ) = 1. Choisissons un nombre
> 1.
Pour tout k assez grand, on a u k /v k
, donc u k
v k car v k est positif pour k
assez grand. Si la série
v k converge, il en va de même de la série
(
v k ), donc,
par le théorème de comparaison, la série
u k converge.
Pour le deuxième critère, supposons < 1 et choisissons un nombre
tel que < <
< 1.
Par hypothèse, on a
k
√ u k
pour tout k assez grand, donc u k
k . La série géométrique
k a sa raison de module strictement inférieur à 1, donc est convergente.
D’après le théorème de comparaison, la série
u k est donc convergente. Supposons
maintenant > 1. On a alors
k
√ u k 1 pour tout k assez grand, donc aussi u k 1 et
u k ne tend pas vers 0 : la série n’est donc pas convergente.
Raisonnons de même pour le dernier critère en supposant d’abord < 1. Pour tout k
supérieur ou égal à un certain indice K , on a
u k+1
u k
. En multipliant ces inégalités
pour k = K, K+1, · · · , K+n, on obtient
u K+n
u K
n , donc u K+n u K
n pour tout
n 1. Comme la série géométrique de raison
est convergente, il en va de même, par
comparaison, de la série
u k . Si > 1, alors on a u k+1 u k pour tout k assez grand,
donc u k ne tend pas vers 0.
Exemples
® La série
z
k
k!
est absolument convergente quel que soit le nombre complexe z.
532 – S ´
ERIES NUM ´
ERIQUES