Mode de convergence d'une série alternée. Les sommes partielles sont
s n = a 0 −a 1 +a 2 −a 3 +a 4 −a 5 + · · · + (−1)
n a n
On a
s 2 −s 0 = −a 1 +a 2 0 , s 4 −s 2 = −a 3 +a 4 0 , s 2n −s 2n−2 = −a 2n−1 + a 2n 0
s 3 −s 1 = a 2 −a 3 0 , s 5 −s 3 = a 4 −a 5 0 , s 2n+1 −s 2n−1 = a 2n −a 2n+1 0
Les sommes s 1 ,s 3 ,s 5 ,. . . forment une suite croissante, les sommes s 0 ,s 2 ,s 4 ,. . . une suite
décroissante, et la différence s 2n −s 2n−1 = a 2n est positive et tend vers 0 : ainsi la suite
des s 2n−1 et la suite des s 2n sont adjacentes, donc elles ont la même limite s (page
261) : cela démontre qu’une série alternée est convergente. De plus, on a l’encadrement
s 2n−1 s s 2p pour tout n 1 et p 0.
La somme d’une série alternée est toujours comprise
entre deux sommes partielles consécutives quelconques.
Majoration du reste d'une série alternée
En appelant s la somme de la série, on a 0 s−s 2n−1 s 2n −s 2n−1 = a 2n et 0 s 2n −s
s 2n −s 2n+1 = a 2n+1 .
Dans une série alternée, le reste est, en valeur absolue,
inférieur au premier terme négligé.
1.2 Critères de convergence
Proposition et définition. Si la série
|u k | est convergente, alors la série
u k est
convergente aussi et
+∞
k=0 u k
+∞
k=0 |u k |. Dans ce cas, on dit que la série
u k est
absolument convergente.
Démonstration. Notons a k la partie réelle de u k et b k la partie imaginaire, de sorte que
u k = a k + i b k . On sait que |a k | |u k | et |b k | |u k |. Si la série
|u k | est convergente, alors
d’après le théorème de comparaison, il en va de même des séries
|a k | et
|b k |. Puisqu’on a 0 |a k | − a k 2|a k |, la série de terme général d k = |a k | − a k est convergente. On
a
a k =
|a k |−
d k , donc la série
a k est convergente. De même, la série
b k est
convergente et il s’ensuit que la série
(a k + i b k ) =
u k est convergente.
Pour toute somme partielle s n =
n
k=0 u k , on a |s n |
n
k=0 |u k | car le module d’une somme
est inférieur ou égal à la somme des modules ; par suite,
+∞
k=0
u k
= | lim
n→+∞
s n | = lim
n→+∞
|s n |
+∞
k=0
|u k | .
En appliquant le théorème de comparaison, on en déduit le premier critère suivant.
Critère de comparaison. Si l’on a |u k | v k pour tout k assez grand et si la série
v k converge, alors la série
u k est absolument convergente (donc convergente).
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 531
s n = a 0 −a 1 +a 2 −a 3 +a 4 −a 5 + · · · + (−1)
n a n
On a
s 2 −s 0 = −a 1 +a 2 0 , s 4 −s 2 = −a 3 +a 4 0 , s 2n −s 2n−2 = −a 2n−1 + a 2n 0
s 3 −s 1 = a 2 −a 3 0 , s 5 −s 3 = a 4 −a 5 0 , s 2n+1 −s 2n−1 = a 2n −a 2n+1 0
Les sommes s 1 ,s 3 ,s 5 ,. . . forment une suite croissante, les sommes s 0 ,s 2 ,s 4 ,. . . une suite
décroissante, et la différence s 2n −s 2n−1 = a 2n est positive et tend vers 0 : ainsi la suite
des s 2n−1 et la suite des s 2n sont adjacentes, donc elles ont la même limite s (page
261) : cela démontre qu’une série alternée est convergente. De plus, on a l’encadrement
s 2n−1 s s 2p pour tout n 1 et p 0.
La somme d’une série alternée est toujours comprise
entre deux sommes partielles consécutives quelconques.
Majoration du reste d'une série alternée
En appelant s la somme de la série, on a 0 s−s 2n−1 s 2n −s 2n−1 = a 2n et 0 s 2n −s
s 2n −s 2n+1 = a 2n+1 .
Dans une série alternée, le reste est, en valeur absolue,
inférieur au premier terme négligé.
1.2 Critères de convergence
Proposition et définition. Si la série
|u k | est convergente, alors la série
u k est
convergente aussi et
+∞
k=0 u k
+∞
k=0 |u k |. Dans ce cas, on dit que la série
u k est
absolument convergente.
Démonstration. Notons a k la partie réelle de u k et b k la partie imaginaire, de sorte que
u k = a k + i b k . On sait que |a k | |u k | et |b k | |u k |. Si la série
|u k | est convergente, alors
d’après le théorème de comparaison, il en va de même des séries
|a k | et
|b k |. Puisqu’on a 0 |a k | − a k 2|a k |, la série de terme général d k = |a k | − a k est convergente. On
a
a k =
|a k |−
d k , donc la série
a k est convergente. De même, la série
b k est
convergente et il s’ensuit que la série
(a k + i b k ) =
u k est convergente.
Pour toute somme partielle s n =
n
k=0 u k , on a |s n |
n
k=0 |u k | car le module d’une somme
est inférieur ou égal à la somme des modules ; par suite,
+∞
k=0
u k
= | lim
n→+∞
s n | = lim
n→+∞
|s n |
+∞
k=0
|u k | .
En appliquant le théorème de comparaison, on en déduit le premier critère suivant.
Critère de comparaison. Si l’on a |u k | v k pour tout k assez grand et si la série
v k converge, alors la série
u k est absolument convergente (donc convergente).
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 531