Majoration du reste. Si la série satisfait les hypothèses de la proposition, l’encadrement donné permet de majorer le reste r n = s − s n pourvu qu’on puisse majorer,
en fonction de n, l’intégrale généralisée
+∞
n+1
f (t) dt.
Exemple. Considérons la série de terme général u k = 1
a
2 +k
2
, où a > 0. La fonction
f (x) = 1
a
2 +x
2
est positive et décroissante sur [0, +∞[, donc pour tout entier p 1,
on a la majoration
+∞
k=p
1
a
2 +k
2
u p +
+∞
p
dt
a
2 +t
2
.
Puisque
dt
a
2 +t
2
= 1
a
Arc tan x
a
(page 298), il vient
+∞
p
dt
a
2 +t
2
= 1
a
π
2
− Arc tan
p
a
.
Mais d’après la relation tan
π
2
−θ
= 1
tan θ
, on a π
2
− Arc tan x = Arc tan 1
x
pour
tout x > 0. Ainsi,
+∞
p
dt
a
2 +t
2
= 1
a
Arc tan a
p
et
+∞
k=p
1
a
2 +k
2
1
a
2 +p
2
+ 1
a
Arc tan a
p
.
Cette majoration du reste permet un calcul approché de la somme de la série, car le
membre de droite M p tend vers 0 quand p tend vers l’infini : si l’on trouve un entier
p 2 assez grand pour que M p < ε, alors la somme partielle u 1 +u 2 + · · · +u p−1 est
une valeur approchée par défaut à ε près de la somme
+∞
k=1 u k .
Séries d'Abel
Il s’agit des séries à termes complexes de la forme
a k e
i kx , où le nombre x et les
a k sont réels. La série converge si et seulement si chacune des séries
a k sin kx et
a k cos kx est convergente. On a le résultat suivant, dont nous verrons des exemples
dans le cadre des séries de Fourier.
Proposition. Si la suite des a k est décroissante, positive et tend vers 0, alors la série
a k sin kx est convergente pour tout x et la série
a k cos kx est convergente au moins
pour x non multiple entier de 2π.
Exemples
® Séries alternées. En prenant x = π , on a cos kx = cos kπ = (−1)
k pour k entier.
Si les a k sont positifs, décroissants et tendent vers 0, la série
(−1)
k a k
est convergente.
Une telle série est dite alternée. Ainsi la série alternée
(−1)
k
k
est convergente,
de même que
(−1)
k
k
α
pour tout nombre α > 0.
® Si α > 0, la série
sin kx
k
α
est convergente quel que soit x.
530 – S ´
ERIES NUM ´
ERIQUES