Séries de Riemann
Définition
Soit α un nombre réel positif. La série
1
k
α s’appelle une série de Riemann.
Pour étudier la convergence, nous allons estimer les sommes partielles 1+ 1
2
α +···+ 1
n
α
en les comparant à une intégrale de la fonction x → 1
x
α .
Proposition. Soient p 0 un entier et f : [p,+∞[ → R une fonction continue positive et
décroissante. Alors la série
f (k) est convergente si et seulement si l’intégrale généralisée
+∞
p
f (t) dt existe. Dans ce cas, on a l’encadrement
+∞
p
f (t) dt
+∞
k=p
f (k) f (p) +
+∞
p
f (t) dt.
Démonstration.
f
p
n +1
n
u p
u p+1
u n
s n
x
Pour tout entier k p, posons u k = f (k). Si t est entre deux entiers k et
k+1, alors on a u k+1 = f (k+1) f (t) f (k) = u k , car f est décroissante. En intégrant sur [k, k+1], il vient donc u k+1
k+1
k
f (t) dt u k .
Ajoutons ces inégalités pour k = p, p+1, . . . , n ; on obtient :
u p+1 + u p+2 + · · · + u n+1
n+1
p
f (t) dt u p + u p+1 + · · · + u n
Le terme de droite est la somme partielle s n de la série
u k de premier terme u p et celui
de gauche est s n+1 − u p . L’encadrement se récrit ainsi sous la forme
(∗)
n+1
p
f (t) dt s n u p +
n
p
f (t) dt
où l’on a changé n+1 en n pour avoir l’inégalité de droite. Supposons que l’intégrale généralisée I =
+∞
p
f (t) dt existe : par définition, I est la limite des intégrales
n
p
f (t) dt quand n tend
vers l’infini. Puisque la fonction f est positive, on a
n
p
f (t) dtI pour tout n, donc les sommes
partielles s n sont majorées par le nombre u p + I . D’après le théorème précédent, la série
u k
converge. Réciproquement, si la série converge, ses sommes partielles sont majorées par la
somme s de la série et les intégrales
n+1
p
f (t) dt sont, d’après (∗), majorées par s. Il s’ensuit
que l’on a
x
p
f (t) dt s pour tout x p et par suite, l’intégrale généralisée existe. En passant
à la limite dans (∗) quand n tend vers l’infini, on obtient l’encadrement pour la somme s.
On sait que l’intégrale généralisée
+∞
1
dt
t
α dt existe si et seulement si α > 1 (page 325).
D’après la proposition, c’est aussi la condition de convergence de la série de Riemann
1
k
α .
Proposition. La série de Riemann
1
k
α est convergente si et seulement si α > 1.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 529
Définition
Soit α un nombre réel positif. La série
1
k
α s’appelle une série de Riemann.
Pour étudier la convergence, nous allons estimer les sommes partielles 1+ 1
2
α +···+ 1
n
α
en les comparant à une intégrale de la fonction x → 1
x
α .
Proposition. Soient p 0 un entier et f : [p,+∞[ → R une fonction continue positive et
décroissante. Alors la série
f (k) est convergente si et seulement si l’intégrale généralisée
+∞
p
f (t) dt existe. Dans ce cas, on a l’encadrement
+∞
p
f (t) dt
+∞
k=p
f (k) f (p) +
+∞
p
f (t) dt.
Démonstration.
f
p
n +1
n
u p
u p+1
u n
s n
x
Pour tout entier k p, posons u k = f (k). Si t est entre deux entiers k et
k+1, alors on a u k+1 = f (k+1) f (t) f (k) = u k , car f est décroissante. En intégrant sur [k, k+1], il vient donc u k+1
k+1
k
f (t) dt u k .
Ajoutons ces inégalités pour k = p, p+1, . . . , n ; on obtient :
u p+1 + u p+2 + · · · + u n+1
n+1
p
f (t) dt u p + u p+1 + · · · + u n
Le terme de droite est la somme partielle s n de la série
u k de premier terme u p et celui
de gauche est s n+1 − u p . L’encadrement se récrit ainsi sous la forme
(∗)
n+1
p
f (t) dt s n u p +
n
p
f (t) dt
où l’on a changé n+1 en n pour avoir l’inégalité de droite. Supposons que l’intégrale généralisée I =
+∞
p
f (t) dt existe : par définition, I est la limite des intégrales
n
p
f (t) dt quand n tend
vers l’infini. Puisque la fonction f est positive, on a
n
p
f (t) dtI pour tout n, donc les sommes
partielles s n sont majorées par le nombre u p + I . D’après le théorème précédent, la série
u k
converge. Réciproquement, si la série converge, ses sommes partielles sont majorées par la
somme s de la série et les intégrales
n+1
p
f (t) dt sont, d’après (∗), majorées par s. Il s’ensuit
que l’on a
x
p
f (t) dt s pour tout x p et par suite, l’intégrale généralisée existe. En passant
à la limite dans (∗) quand n tend vers l’infini, on obtient l’encadrement pour la somme s.
On sait que l’intégrale généralisée
+∞
1
dt
t
α dt existe si et seulement si α > 1 (page 325).
D’après la proposition, c’est aussi la condition de convergence de la série de Riemann
1
k
α .
Proposition. La série de Riemann
1
k
α est convergente si et seulement si α > 1.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 529