Démonstration. En effet, en supposant que la suite des u k commence à l’indice 0, on a
s n − s n−1 = u n pour tout n 1. Si les sommes s n tendent vers s, alors la différence s n − s n−1
tend vers s−s = 0.
Dans le cas d’une série
u k à termes u k réels positifs ou nuls, les sommes partielles
sont croissantes puisqu’on a s n+1 − s n = u n 0 pour tout n. Comme une suite croissante
de nombres réels est convergente si et seulement si elle est majorée (page 261), on en
déduit le résultat suivant.
Théorème. Une série
u k à termes u k 0 est convergente si et seulement si ses
sommes partielles sont majorées.
Théorème de comparaison. Soient
u k et
v k des séries à termes réels. Si l’on
a 0 u k v k pour tout k et si la série
v k converge, alors la série
u k converge.
Démonstration. Chaque somme partielle de la série
u k est inférieure ou égale à la somme
partielle correspondante de la série
v k . Si cette dernière série converge, ses sommes partielles
sont majorées, donc aussi les sommes partielles de la série
u k qui est donc convergente.
1.1 Les exemples fondamentaux
Séries géométriques
Supposons que les u k forment une suite géométrique : si a est le premier terme et z
la raison, on a donc u k = az
k quel que soit l’entier k 0. On dit que la série
az
k
est une série géométrique. Les sommes partielles sont (remarque page 46)
s n = az
0 + az
1 + az
2 + · · · + az
n = a[1 + z + z
2 + · · · + z
n ] = a
1−z
n+1
1−z
Proposition. Supposons a =0. La série géométrique
az
k est convergente si et seulement
si |z| < 1 et dans ce cas, sa somme est
+∞
k=0 az
k = a
1−z
.
Démonstration. Si |z| < 1, alors |z
n
| = |z|
n tend vers 0, donc aussi z
n : quand n tend
vers +∞, les sommes s n ont alors pour limite a
1−0
1−z
= a
1−z
et la série est convergente.
Réciproquement, si la série
az
k converge, alors nécessairement son terme général az
k tend
vers 0 quand k tend vers +∞, donc aussi les modules |az
k
| = |a||z|
k ; puisqu’on a supposé
a = 0, |z|
k tend vers 0 et cela implique |z| < 1.
Majoration du reste lorsque |z| < 1 . En notant s la somme de la série, on a
s n = s−a z
n+1
1−z
, donc le reste est r n = s − s n = a z
n+1
1−z
. D’après l’inégalité triangulaire
1 |z| + |1−z|, on a |1−z| 1−|z|, d’où la majoration |r n |
|a|
1−|z|
|z|
n+1 qui est
d’autant plus petite que n est grand.
528 – S ´
ERIES NUM ´
ERIQUES
s n − s n−1 = u n pour tout n 1. Si les sommes s n tendent vers s, alors la différence s n − s n−1
tend vers s−s = 0.
Dans le cas d’une série
u k à termes u k réels positifs ou nuls, les sommes partielles
sont croissantes puisqu’on a s n+1 − s n = u n 0 pour tout n. Comme une suite croissante
de nombres réels est convergente si et seulement si elle est majorée (page 261), on en
déduit le résultat suivant.
Théorème. Une série
u k à termes u k 0 est convergente si et seulement si ses
sommes partielles sont majorées.
Théorème de comparaison. Soient
u k et
v k des séries à termes réels. Si l’on
a 0 u k v k pour tout k et si la série
v k converge, alors la série
u k converge.
Démonstration. Chaque somme partielle de la série
u k est inférieure ou égale à la somme
partielle correspondante de la série
v k . Si cette dernière série converge, ses sommes partielles
sont majorées, donc aussi les sommes partielles de la série
u k qui est donc convergente.
1.1 Les exemples fondamentaux
Séries géométriques
Supposons que les u k forment une suite géométrique : si a est le premier terme et z
la raison, on a donc u k = az
k quel que soit l’entier k 0. On dit que la série
az
k
est une série géométrique. Les sommes partielles sont (remarque page 46)
s n = az
0 + az
1 + az
2 + · · · + az
n = a[1 + z + z
2 + · · · + z
n ] = a
1−z
n+1
1−z
Proposition. Supposons a =0. La série géométrique
az
k est convergente si et seulement
si |z| < 1 et dans ce cas, sa somme est
+∞
k=0 az
k = a
1−z
.
Démonstration. Si |z| < 1, alors |z
n
| = |z|
n tend vers 0, donc aussi z
n : quand n tend
vers +∞, les sommes s n ont alors pour limite a
1−0
1−z
= a
1−z
et la série est convergente.
Réciproquement, si la série
az
k converge, alors nécessairement son terme général az
k tend
vers 0 quand k tend vers +∞, donc aussi les modules |az
k
| = |a||z|
k ; puisqu’on a supposé
a = 0, |z|
k tend vers 0 et cela implique |z| < 1.
Majoration du reste lorsque |z| < 1 . En notant s la somme de la série, on a
s n = s−a z
n+1
1−z
, donc le reste est r n = s − s n = a z
n+1
1−z
. D’après l’inégalité triangulaire
1 |z| + |1−z|, on a |1−z| 1−|z|, d’où la majoration |r n |
|a|
1−|z|
|z|
n+1 qui est
d’autant plus petite que n est grand.
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ERIQUES