Chapitre 17
Séries, séries entières,
séries de Fourier
1. Séries numériques
Étant donnée une suite de nombres u k réels ou complexes, on doit parfois considérer
les sommes s 0 = u 0 , s 1 = u 0 + u 1 , s 2 = u 0 + u 1 + u 2 et de manière générale, la
somme d’un nombre quelconque de premiers termes :
s n = u 0 + u 1 + · · · + u n =
n
k=0
u k
Définition
Les sommes s n forment une suite, appelée série de terme général u k et notée
u k .
Chaque somme s n s’appelle une somme partielle de la série.
Si les u k ne sont définis que pour k p, les sommes partielles sont
u p , u p + u p+1 , . . . , u p + u p+1 + · · · + u n =
n
k=p
u k pour tout n p.
On s’intéresse surtout aux cas où les sommes partielles forment une suite convergente.
Définition
Si la suite s n a une limite s, on dit que la série
u n est convergente. Dans ce cas, le
nombre s s’appelle la somme de la série et se note s =
+∞
k=p u k , où p est le premier
indice de définition des u k . Les nombres r n = s−s n s’appellent les restes de la série.
Si des séries
u k et
u
k sont convergentes de sommes s et s
, alors la série
(u k +u
k )
a pour somme s+s
, et pour tout nombre λ, la série
(λu k ) a pour somme λs.
Par définition, une série à termes complexes est convergente si et seulement si la série
des parties réelles et la série des parties imaginaires sont toutes deux convergentes.
Proposition. Si une série
u k est convergente, alors lim
k→+∞
u k = 0.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 527