c) Supposons que pour tout x assez voisin de 0 et différent de 0, on a
a(x)d−bc(x) > 0 et a(x)+d < 0. Supposons de plus b = 0. Posons V (x, y) =
1
2
(dx−by)
2 +
x
0
a(s)d−c(s)b
s ds. Montrer que V est une fonction de Liapounov
pour l’équilibre O et que cet équilibre est asymptotiquement stable.
11.
δ 1
δ 2
δ(t)
c(t)
V (t)
c 2
c 1
Contrôle d'une cuve à mélanger. Considérons une cuve mélangeuse contenant un solvant et alimentée par deux solutions de concentrations c 1 et
c 2 , avec des débits réglables δ 1 et δ 2 . Soit V (t) le volume
de liquide dans la cuve à l’instant t, δ(t) le débit de sortie
et c(t) la concentration du mélange dans la cuve.
Les bilans en volume de solution et en masse de produits
dissous s’expriment par
dV
dt
= δ 1 +δ 2 −δ et
d(cV )
dt
= c 1 δ 1 + c 2 δ 2 − cδ .
De plus, si S est la section de la cuve, alors d’après la loi d’écoulement de Bernouilli,
on a δ = a
√
V (où la constante positive a est de la forme b/
√
S ).
a) Montrer qu’un état d’équilibre est caractérisé par un volume constant V e dans la
cuve ainsi que par des débits δ 1 = δ 1e , δ 2 = δ 2e , δ = δ e et une concentration en
sortie c = c e vérifiant les égalités δ e = δ 1e +δ 2e et c e δ e = c 1 δ 1e +c 2 δ 2e .
b) Pour linéariser le système autour de l’équilibre, introduisons les différences
x = V −V e et y = c−c e et les commandes u = δ 1 −δ 1e , v = δ 2 −δ 2e .
(i) Montrer que pour x petit, on a au premier ordre l’approximation
V e + x ∼
V e
1 + x
2V e
.
(ii) En déduire les approximations
˙
x =
−ax
2
V e
+ u + v et
˙
y =
−c
V e
[u+v+δ e ] + 1
V e
[c 1 u + c 2 v + c e δ e ] .
(iii) Posons p = a
2
V e
, α 1 =
c 1 −c e
V e
et α 2 =
c 2 −c e
V e
. Montrer que le linéarisé du
système au point d’équilibre est (L) :
˙
x
˙
y
=
−p
0
0 −2p
x
y
+
1 1
α 1 α 2
u
v
c) Calculer la matrice de commandabilité de (L). En déduire que le système (L) est
commandable par (u, v) si et seulement si les concentrations c 1 et c 2 sont différentes. Justifier l’affirmation : « dans le cas c 1 = c 2 , si deux états (V, c) et (V
, c
)
sont proches de l’équilibre, on peut passer du premier au second en agissant sur
les débits δ 1 et δ 2 . »
d) Soit la matrice K =
1 0
0 k
. Calculer la matrice A − BK et son polynôme caractéristique. On suppose c 1 = c 2 et l’on pose k = ε/(2α 2 ), où ε = 1 si α 2 −α 1 > 0
et ε = −1 si α 2 −α 1 < 0. Montrer que le système
˙
x
˙
y
= (A − BK)
x
y
est un
bouclage stabilisant de (L).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 525
a(x)d−bc(x) > 0 et a(x)+d < 0. Supposons de plus b = 0. Posons V (x, y) =
1
2
(dx−by)
2 +
x
0
a(s)d−c(s)b
s ds. Montrer que V est une fonction de Liapounov
pour l’équilibre O et que cet équilibre est asymptotiquement stable.
11.
δ 1
δ 2
δ(t)
c(t)
V (t)
c 2
c 1
Contrôle d'une cuve à mélanger. Considérons une cuve mélangeuse contenant un solvant et alimentée par deux solutions de concentrations c 1 et
c 2 , avec des débits réglables δ 1 et δ 2 . Soit V (t) le volume
de liquide dans la cuve à l’instant t, δ(t) le débit de sortie
et c(t) la concentration du mélange dans la cuve.
Les bilans en volume de solution et en masse de produits
dissous s’expriment par
dV
dt
= δ 1 +δ 2 −δ et
d(cV )
dt
= c 1 δ 1 + c 2 δ 2 − cδ .
De plus, si S est la section de la cuve, alors d’après la loi d’écoulement de Bernouilli,
on a δ = a
√
V (où la constante positive a est de la forme b/
√
S ).
a) Montrer qu’un état d’équilibre est caractérisé par un volume constant V e dans la
cuve ainsi que par des débits δ 1 = δ 1e , δ 2 = δ 2e , δ = δ e et une concentration en
sortie c = c e vérifiant les égalités δ e = δ 1e +δ 2e et c e δ e = c 1 δ 1e +c 2 δ 2e .
b) Pour linéariser le système autour de l’équilibre, introduisons les différences
x = V −V e et y = c−c e et les commandes u = δ 1 −δ 1e , v = δ 2 −δ 2e .
(i) Montrer que pour x petit, on a au premier ordre l’approximation
V e + x ∼
V e
1 + x
2V e
.
(ii) En déduire les approximations
˙
x =
−ax
2
V e
+ u + v et
˙
y =
−c
V e
[u+v+δ e ] + 1
V e
[c 1 u + c 2 v + c e δ e ] .
(iii) Posons p = a
2
V e
, α 1 =
c 1 −c e
V e
et α 2 =
c 2 −c e
V e
. Montrer que le linéarisé du
système au point d’équilibre est (L) :
˙
x
˙
y
=
−p
0
0 −2p
x
y
+
1 1
α 1 α 2
u
v
c) Calculer la matrice de commandabilité de (L). En déduire que le système (L) est
commandable par (u, v) si et seulement si les concentrations c 1 et c 2 sont différentes. Justifier l’affirmation : « dans le cas c 1 = c 2 , si deux états (V, c) et (V
, c
)
sont proches de l’équilibre, on peut passer du premier au second en agissant sur
les débits δ 1 et δ 2 . »
d) Soit la matrice K =
1 0
0 k
. Calculer la matrice A − BK et son polynôme caractéristique. On suppose c 1 = c 2 et l’on pose k = ε/(2α 2 ), où ε = 1 si α 2 −α 1 > 0
et ε = −1 si α 2 −α 1 < 0. Montrer que le système
˙
x
˙
y
= (A − BK)
x
y
est un
bouclage stabilisant de (L).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 525