d) Montrer que pour toute solution, on a lim
t→+∞
x(t) = +∞. En déduire que y(t) a
une limite finie comprise entre 0 et 2 quand t tend vers +∞.
e) Montrer qu’il existe un instant T tel que l’on ait ˙
y(t) −y(t) quel que soit t T .
En déduire que y(t) tend vers 0 quand t tend vers +∞.
f) Faire un dessin des trajectoires.
g) On suppose a = 1. Soit
x(t), y(t)
la solution telle que x(0) = 2 et y(0) = 5. On
considère que la population y est éteinte lorsque y/x 0,05. En faisant calculer
numériquement les fonctions x(t) et y(t) par un ordinateur, montrer que le temps
d’extinction de y est environ 1,19.
8. L'équation de Van der Pol. Il s’agit de l’équation différentielle (P ) : y
= −y−y
+ y
3 .
Écrire le système différentiel du premier ordre associé. En utilisant un
ordinateur, vérifier que les trajectoires ont l’allure ci-contre. Expliquer
comment, par ce dessin, on peut se convaincre qu’il y a une solution
périodique. Cette équation a été utilisée pour les premières modélisations du
fonctionnement cardiaque.
9
@ . Utilisation de la formule de Stokes. Soit le système différentiel
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
, défini
dans un domaine D (les fonctions f et g ont des dérivées partielles continues). Si
R est une région de D limitée par une courbe fermée C , la formule de Stokes (page
430) affirme que l’on a
C
f (x, y) dy−g(x, y) dx =
R
∂f
∂x
(x, y)+
∂g
∂y
(x, y)
dx dy.
a) Supposons que
x(t), y(t)
est une solution périodique du système différentiel
et que C est sa trajectoire. Montrer que, dans la formule de Stokes, l’intégrale
curviligne est nulle.
b) Supposons que le champ de vecteurs
− →
E =
f (x,y),g(x,y)
a une divergence de signe
constant dans D. Montrer que le système différentiel n’a aucune solution périodique.
c) Considérons le système différentiel
˙
θ = v
˙
v = − sin θ − av + b
du moteur électrique,
où les constantes a et b sont strictement positives (page 514). Montrer que la
divergence du champ est −a. En déduire que dans le cylindre des phases, toute
trajectoire fermée doit faire le tour du cylindre.
10
@ . Étude d'un équilibre. Soient a(x) et c(x) des fonctions à dérivées continues, définies
sur un intervalle autour de 0. Considérons le système différentiel
x
= xa(x) + by
y
= xc(x) + dy
,
où b et d sont des constantes.
a) Montrer que l’origine O = (0, 0) est un point d’équilibre et que le linéarisé du
système en ce point a pour matrice
a(0) b
c(0) d
.
b) En déduire que si l’on a a(0)d−bc(0) > 0 et a(0)+d < 0, alors l’origine est
asymptotiquement stable.
524 – EXERCICES
t→+∞
x(t) = +∞. En déduire que y(t) a
une limite finie comprise entre 0 et 2 quand t tend vers +∞.
e) Montrer qu’il existe un instant T tel que l’on ait ˙
y(t) −y(t) quel que soit t T .
En déduire que y(t) tend vers 0 quand t tend vers +∞.
f) Faire un dessin des trajectoires.
g) On suppose a = 1. Soit
x(t), y(t)
la solution telle que x(0) = 2 et y(0) = 5. On
considère que la population y est éteinte lorsque y/x 0,05. En faisant calculer
numériquement les fonctions x(t) et y(t) par un ordinateur, montrer que le temps
d’extinction de y est environ 1,19.
8. L'équation de Van der Pol. Il s’agit de l’équation différentielle (P ) : y
= −y−y
+ y
3 .
Écrire le système différentiel du premier ordre associé. En utilisant un
ordinateur, vérifier que les trajectoires ont l’allure ci-contre. Expliquer
comment, par ce dessin, on peut se convaincre qu’il y a une solution
périodique. Cette équation a été utilisée pour les premières modélisations du
fonctionnement cardiaque.
9
@ . Utilisation de la formule de Stokes. Soit le système différentiel
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
, défini
dans un domaine D (les fonctions f et g ont des dérivées partielles continues). Si
R est une région de D limitée par une courbe fermée C , la formule de Stokes (page
430) affirme que l’on a
C
f (x, y) dy−g(x, y) dx =
R
∂f
∂x
(x, y)+
∂g
∂y
(x, y)
dx dy.
a) Supposons que
x(t), y(t)
est une solution périodique du système différentiel
et que C est sa trajectoire. Montrer que, dans la formule de Stokes, l’intégrale
curviligne est nulle.
b) Supposons que le champ de vecteurs
− →
E =
f (x,y),g(x,y)
a une divergence de signe
constant dans D. Montrer que le système différentiel n’a aucune solution périodique.
c) Considérons le système différentiel
˙
θ = v
˙
v = − sin θ − av + b
du moteur électrique,
où les constantes a et b sont strictement positives (page 514). Montrer que la
divergence du champ est −a. En déduire que dans le cylindre des phases, toute
trajectoire fermée doit faire le tour du cylindre.
10
@ . Étude d'un équilibre. Soient a(x) et c(x) des fonctions à dérivées continues, définies
sur un intervalle autour de 0. Considérons le système différentiel
x
= xa(x) + by
y
= xc(x) + dy
,
où b et d sont des constantes.
a) Montrer que l’origine O = (0, 0) est un point d’équilibre et que le linéarisé du
système en ce point a pour matrice
a(0) b
c(0) d
.
b) En déduire que si l’on a a(0)d−bc(0) > 0 et a(0)+d < 0, alors l’origine est
asymptotiquement stable.
524 – EXERCICES