c) Quelle approximation peut-on prendre pour une solution de condition initiale voisine de E ? Montrer que la période des petites oscillations autour de E est à peu
près 2π/
√
ac (voir le paragraphe 4).
6
@ .
(G)
( S)
( R)
a
b
tractus
intestinal
sang
système
rénal
Dépendance des paramètres. Considérons le système compartimental formé du tractus
intestinal (G) et du sang (S) : les transferts de
substances de (G) vers (S) et de (S) vers le
système rénal (R) sont régis par la loi d’action
de masse :
˙
G = −aG
˙
S = aG−bS
, où a et b sont des
paramètres positifs tels que b > a.
a) On suppose qu’à l’instant t = 0, on a G(0) = g 0 > 0 et S(0) = 0. Calculer la solution
G(t), S(t)
. Montrer que G(t) et S(t) tendent vers 0 quand t tend vers +∞ et
que l’équilibre (0, 0) est asymptotiquement stable.
b) Les fonctions de sensibilité au paramètre a sont x(t) = ∂G
∂a
et y(t) = ∂S
∂a
. Montrer
que ces fonctions sont solutions du système
˙
x = −ax−G(t)
˙
y = ax − by + G(t)
. Montrer que
x(t) = −g 0 te
−at et y(t) =
g 0
(b−a)
2
b−a(b−a)t
e
−at
− be
−bt
.
c) On veut estimer le paramètre de diffusion a en mesurant la quantité S par des
analyses sanguines. On aura une meilleure précision si l’on effectue ces mesures
à un instant où a dépend le moins de S , c’est-à-dire lorsque la valeur absolue
∂a
∂S
est minimum. Supposons que la valeur de a est proche de 1 et que celle de
b est proche de 1,5. Pour ces valeurs, faire dessiner par ordinateur le graphe de
y(t) entre 0 et 6. Constater qu’il vaut mieux faire les mesures vers l’instant t = 3.
7
@ . Un exemple de compétition animale. Le système suivant modélise une compétition
brutale entre deux populations animales d’effectifs x et y (l’unité est la dizaine
d’individus) :
˙
x = 2x−xy
˙
y = a(y−y
2
− xy)
, où a > 0. Le terme −y
2 reflète une mortalité par
surpopulation et −xy traduit les contacts mortels entre individus d’espèces différentes.
a) Trouver les deux points d’équilibre à coordonnées positives ou nulles. Montrer que
le demi-axe des y 0 est réunion de quatre trajectoires. Montrer que le demi-axe
x > 0 est une trajectoire : quelle sont les solutions
x(t), 0
correspondantes ?
b) Montrer que les droites d’équation y = 2 et x+y = 1 divisent le domaine
D = {(x, y) | x > 0 et y > 0} en trois régions dans lesquelles ˙
x et ˙
y ont des signes
constants. On note (A) la région y > 2, (C) la région x+y < 1 et (B) la troisième
région. Dessiner la direction du champ en tout point d’une frontière de ces régions.
c) Montrer que toute solution qui part d’un point de (A) ou d’un point de (C) rentre
dans la région (B). Montrer que toute solution qui est dans (B) à un certain
instant reste ultérieurement dans (B).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 523
près 2π/
√
ac (voir le paragraphe 4).
6
@ .
(G)
( S)
( R)
a
b
tractus
intestinal
sang
système
rénal
Dépendance des paramètres. Considérons le système compartimental formé du tractus
intestinal (G) et du sang (S) : les transferts de
substances de (G) vers (S) et de (S) vers le
système rénal (R) sont régis par la loi d’action
de masse :
˙
G = −aG
˙
S = aG−bS
, où a et b sont des
paramètres positifs tels que b > a.
a) On suppose qu’à l’instant t = 0, on a G(0) = g 0 > 0 et S(0) = 0. Calculer la solution
G(t), S(t)
. Montrer que G(t) et S(t) tendent vers 0 quand t tend vers +∞ et
que l’équilibre (0, 0) est asymptotiquement stable.
b) Les fonctions de sensibilité au paramètre a sont x(t) = ∂G
∂a
et y(t) = ∂S
∂a
. Montrer
que ces fonctions sont solutions du système
˙
x = −ax−G(t)
˙
y = ax − by + G(t)
. Montrer que
x(t) = −g 0 te
−at et y(t) =
g 0
(b−a)
2
b−a(b−a)t
e
−at
− be
−bt
.
c) On veut estimer le paramètre de diffusion a en mesurant la quantité S par des
analyses sanguines. On aura une meilleure précision si l’on effectue ces mesures
à un instant où a dépend le moins de S , c’est-à-dire lorsque la valeur absolue
∂a
∂S
est minimum. Supposons que la valeur de a est proche de 1 et que celle de
b est proche de 1,5. Pour ces valeurs, faire dessiner par ordinateur le graphe de
y(t) entre 0 et 6. Constater qu’il vaut mieux faire les mesures vers l’instant t = 3.
7
@ . Un exemple de compétition animale. Le système suivant modélise une compétition
brutale entre deux populations animales d’effectifs x et y (l’unité est la dizaine
d’individus) :
˙
x = 2x−xy
˙
y = a(y−y
2
− xy)
, où a > 0. Le terme −y
2 reflète une mortalité par
surpopulation et −xy traduit les contacts mortels entre individus d’espèces différentes.
a) Trouver les deux points d’équilibre à coordonnées positives ou nulles. Montrer que
le demi-axe des y 0 est réunion de quatre trajectoires. Montrer que le demi-axe
x > 0 est une trajectoire : quelle sont les solutions
x(t), 0
correspondantes ?
b) Montrer que les droites d’équation y = 2 et x+y = 1 divisent le domaine
D = {(x, y) | x > 0 et y > 0} en trois régions dans lesquelles ˙
x et ˙
y ont des signes
constants. On note (A) la région y > 2, (C) la région x+y < 1 et (B) la troisième
région. Dessiner la direction du champ en tout point d’une frontière de ces régions.
c) Montrer que toute solution qui part d’un point de (A) ou d’un point de (C) rentre
dans la région (B). Montrer que toute solution qui est dans (B) à un certain
instant reste ultérieurement dans (B).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 523