3.
A 0
B 0
C 0
A(t)
B(t)
(t)
C
x
y
z
Ressorts en anneau. On enfile trois ressorts identiques sur un anneau circulaire rigide R placé horizontalement, chaque ressort ayant
pour longueur un tiers de circonférence. Appelons
A 0 , B 0 , C 0 leurs extrémités. Quand on abandonne
le dispositif après avoir comprimé un ou plusieurs
ressorts, les extrémités des ressorts ont des mouvements A(t), B(t), C(t) qu’on repère par les arcs
orientés x =
A 0 A, y =
B 0 B et z =
C 0 C .
a) Notons 1 , , 2 , , 3 la longueur des ressorts AB, BC, CA. Montrer qu’à tout instant,
on a x+ 1 − y = y+ 2 −z = z+ 3 −x.
b) Montrer que ¨
x = −k(L− 1 ) + k(L− 3 ) = −k(2x−y−z), où k est la raideur des
ressorts et L le tiers de la circonférence. Écrire les égalités analogues pour ¨
y et ¨
z.
c) Supposons k = 1 et posons u = ˙
x, v = ˙
y, w = ˙
z. Écrire le système différentiel linéaire
X
= AX aux six inconnues x, y, z, u, v, w. Montrer que la matrice A possède trois
valeurs propres doubles 0, i
√
3 et − i
√
3.
d) Supposons que les positions initiales sont données par x(0) = 0, y(0) = b, z(0) = c
et qu’on abandonne les ressorts sans vitesse initiale. Montrer que les solutions
sont x(t) = p
1− cos(
√
3 t)
, y(t) = p +
2b−c
3
cos(
√
3 t), z(t) = p +
2c−b
3
cos(
√
3 t),
où p =
b+c
3
. Les mouvements des points A, B, C sont-ils périodiques ?
4
@ . Second membre exponentiel. Soit un système différentiel linéaire X
= AX + B(t), où
A est une matrice constante de taille n.
a) Supposons que B(t)=e
αt V , où V est un vecteur constant et α un nombre qui n’est
pas valeur propre de A. Montrer qu’il y a un unique vecteur Y solution de l’équation linéaire (αI n − A)Y = V et que e
αt Y est une solution du système différentiel.
b) La diffusion d’une certaine substance s entre trois compartiments tissulaires (1), (2)
et (3) est modélisée, en régime libre, par le système X
=AX , où A=
−2 1/2 1
1 −2 1
1 3/2 −2
.
Initialement, les compartiments ne contiennent pas s. À l’instant t = 0, on injecte
s dans le compartiment (1) selon la loi de diffusion pe
−t + qe
−2t , où p et q sont
des quantités positives. Montrer qu’à l’instant t, la quantité de substance s dans
le compartiment (2) est y(t) = 1
6
2p+q − 3pe
−t
− 3qe
−2t + (p+2q)e
−3t
.
Quelle est l’allure de la courbe y(t) pour t 0 ?
5
@ . L'équilibre proies-prédateurs. Considérons le système proies-prédateurs étudié page 501.
a) Calculer le linéarisé du système au point d’équilibre (0, 0) et justifier la forme des
trajectoires autour de ce point.
b) Calculer le linéarisé (L) : X
= AX du système au point d’équilibre E = (c/d,a/b)
et montrer que le système n’est pas linéarisable en ce point.
522 – EXERCICES
A 0
B 0
C 0
A(t)
B(t)
(t)
C
x
y
z
Ressorts en anneau. On enfile trois ressorts identiques sur un anneau circulaire rigide R placé horizontalement, chaque ressort ayant
pour longueur un tiers de circonférence. Appelons
A 0 , B 0 , C 0 leurs extrémités. Quand on abandonne
le dispositif après avoir comprimé un ou plusieurs
ressorts, les extrémités des ressorts ont des mouvements A(t), B(t), C(t) qu’on repère par les arcs
orientés x =
A 0 A, y =
B 0 B et z =
C 0 C .
a) Notons 1 , , 2 , , 3 la longueur des ressorts AB, BC, CA. Montrer qu’à tout instant,
on a x+ 1 − y = y+ 2 −z = z+ 3 −x.
b) Montrer que ¨
x = −k(L− 1 ) + k(L− 3 ) = −k(2x−y−z), où k est la raideur des
ressorts et L le tiers de la circonférence. Écrire les égalités analogues pour ¨
y et ¨
z.
c) Supposons k = 1 et posons u = ˙
x, v = ˙
y, w = ˙
z. Écrire le système différentiel linéaire
X
= AX aux six inconnues x, y, z, u, v, w. Montrer que la matrice A possède trois
valeurs propres doubles 0, i
√
3 et − i
√
3.
d) Supposons que les positions initiales sont données par x(0) = 0, y(0) = b, z(0) = c
et qu’on abandonne les ressorts sans vitesse initiale. Montrer que les solutions
sont x(t) = p
1− cos(
√
3 t)
, y(t) = p +
2b−c
3
cos(
√
3 t), z(t) = p +
2c−b
3
cos(
√
3 t),
où p =
b+c
3
. Les mouvements des points A, B, C sont-ils périodiques ?
4
@ . Second membre exponentiel. Soit un système différentiel linéaire X
= AX + B(t), où
A est une matrice constante de taille n.
a) Supposons que B(t)=e
αt V , où V est un vecteur constant et α un nombre qui n’est
pas valeur propre de A. Montrer qu’il y a un unique vecteur Y solution de l’équation linéaire (αI n − A)Y = V et que e
αt Y est une solution du système différentiel.
b) La diffusion d’une certaine substance s entre trois compartiments tissulaires (1), (2)
et (3) est modélisée, en régime libre, par le système X
=AX , où A=
−2 1/2 1
1 −2 1
1 3/2 −2
.
Initialement, les compartiments ne contiennent pas s. À l’instant t = 0, on injecte
s dans le compartiment (1) selon la loi de diffusion pe
−t + qe
−2t , où p et q sont
des quantités positives. Montrer qu’à l’instant t, la quantité de substance s dans
le compartiment (2) est y(t) = 1
6
2p+q − 3pe
−t
− 3qe
−2t + (p+2q)e
−3t
.
Quelle est l’allure de la courbe y(t) pour t 0 ?
5
@ . L'équilibre proies-prédateurs. Considérons le système proies-prédateurs étudié page 501.
a) Calculer le linéarisé du système au point d’équilibre (0, 0) et justifier la forme des
trajectoires autour de ce point.
b) Calculer le linéarisé (L) : X
= AX du système au point d’équilibre E = (c/d,a/b)
et montrer que le système n’est pas linéarisable en ce point.
522 – EXERCICES