cesse d’être définie en ces points : le graphe de la fonction y(x) peut donc ne pas
couvrir en totalité la courbe (C).
Exercices
1
@ . Évolution de taux d'intérêts. Reprenons le système différentiel
˙
c = a(r − c − )
˙
= b(r − c − )
de
l’exemple 2 page 479 qui modélise l’évolution des taux d’intérêts c et à court et
à long terme (les constantes a, b, r sont positives). Le domaine est c > 0 et > 0.
a) Montrer que tout point du segment de droite d’équation c + = r, c > 0, r > 0
est un point d’équilibre et que si
c(t), ,(t)
est solution, alors bc(t) − aa(t) est
constant. En déduire que les trajectoires sont rectilignes.
b) Montrer que la fonction constante (c,,) =
ar
a+b
, br
a+b
est une solution du système.
c) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice du système. En
déduire la solution générale.
d)
20
20 x
y
Soit S(t) =
c(t), ,(t)
la solution ayant pour condition initiale
c(0) = c 0 , (0) = 0 , où c 0 et 0 sont des nombres positifs. Calculer S(t) et montrer que S(t) tend vers le point d’équilibre
1
a + b
(bc 0 −aa 0 + ar, −bc 0 +aa 0 + br) quand t tend vers +∞. Montrer que chaque point d’équilibre est stable, mais pas asymptotiquement stable.
e) Justifier le dessin ci-contre des trajectoires, où l’on a choisi a=2/3, b=1/3 et r =20.
2. Un système de ressorts. Dans l’exemple 1 page 478, prenons des masses unité et des
ressorts de raideur k 1 = 1, k 2 = 2 et k 3 = 4. Le système différentiel s’écrit X
= AX ,
où A =
⎡
⎣
0 0 1 0
0 0 0 1
−3 2 0 0
2 −6 0 0
⎤
⎦ .
a) Montrer que les valeurs propres de A sont ±
√
2 et ±
√
7.
b) Calculer une base de solutions et montrer que le mouvement des masses est donné
par
x 1 (t) = a cos(
√
2 t) + b sin(
√
2 t) + c cos(
√
7t) + d sin(
√
7 t)
x 2 (t) = a
2
cos(
√
2 t) + b
2
sin(
√
2 t) − 2c cos(
√
7 t) − 2d sin(
√
7 t)
où a, b, c, d
sont des constantes.
c) À l’instant t = 0, on maintient la masse m 2 à l’équilibre et l’on écarte m 1
de la quantité algébrique a = 0. Montrer que le mouvement est donné par
x 1
a
= 4
5
sin
√
2t + 1
5
cos
√
7t et
x 2
a
= 2
5
sin
√
2t − 2
5
cos
√
7t. Ces mouvements sont-ils
périodiques ? (procéder comme dans l’exercice 5 page 294).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 521
couvrir en totalité la courbe (C).
Exercices
1
@ . Évolution de taux d'intérêts. Reprenons le système différentiel
˙
c = a(r − c − )
˙
= b(r − c − )
de
l’exemple 2 page 479 qui modélise l’évolution des taux d’intérêts c et à court et
à long terme (les constantes a, b, r sont positives). Le domaine est c > 0 et > 0.
a) Montrer que tout point du segment de droite d’équation c + = r, c > 0, r > 0
est un point d’équilibre et que si
c(t), ,(t)
est solution, alors bc(t) − aa(t) est
constant. En déduire que les trajectoires sont rectilignes.
b) Montrer que la fonction constante (c,,) =
ar
a+b
, br
a+b
est une solution du système.
c) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice du système. En
déduire la solution générale.
d)
20
20 x
y
Soit S(t) =
c(t), ,(t)
la solution ayant pour condition initiale
c(0) = c 0 , (0) = 0 , où c 0 et 0 sont des nombres positifs. Calculer S(t) et montrer que S(t) tend vers le point d’équilibre
1
a + b
(bc 0 −aa 0 + ar, −bc 0 +aa 0 + br) quand t tend vers +∞. Montrer que chaque point d’équilibre est stable, mais pas asymptotiquement stable.
e) Justifier le dessin ci-contre des trajectoires, où l’on a choisi a=2/3, b=1/3 et r =20.
2. Un système de ressorts. Dans l’exemple 1 page 478, prenons des masses unité et des
ressorts de raideur k 1 = 1, k 2 = 2 et k 3 = 4. Le système différentiel s’écrit X
= AX ,
où A =
⎡
⎣
0 0 1 0
0 0 0 1
−3 2 0 0
2 −6 0 0
⎤
⎦ .
a) Montrer que les valeurs propres de A sont ±
√
2 et ±
√
7.
b) Calculer une base de solutions et montrer que le mouvement des masses est donné
par
x 1 (t) = a cos(
√
2 t) + b sin(
√
2 t) + c cos(
√
7t) + d sin(
√
7 t)
x 2 (t) = a
2
cos(
√
2 t) + b
2
sin(
√
2 t) − 2c cos(
√
7 t) − 2d sin(
√
7 t)
où a, b, c, d
sont des constantes.
c) À l’instant t = 0, on maintient la masse m 2 à l’équilibre et l’on écarte m 1
de la quantité algébrique a = 0. Montrer que le mouvement est donné par
x 1
a
= 4
5
sin
√
2t + 1
5
cos
√
7t et
x 2
a
= 2
5
sin
√
2t − 2
5
cos
√
7t. Ces mouvements sont-ils
périodiques ? (procéder comme dans l’exercice 5 page 294).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 521