En continuant ainsi de proche en proche, définissons les approximations z 0 , z 1 , . . . , z n
en posant z 0 = x 0 et
z k+1 = z k + h
2
F (t k , z k ) + F
t k+1 , z k + hF (t k , z k )
pour k = 0, 1, . . . , n−1.
Par suite de l’accumulation des erreurs, l’écart final |x(T ) − z n | est seulement, pour
|h| assez petit, de l’ordre de h
2 .
Algorithme de la moyenne pente
L’algorithme suivant calcule une approximation de X(T ), où X est la solution du
système différentiel X
= F (t, X) ayant pour condition initiale X(t 0 ) = X 0 .
initialisations :
t ← t 0 ; Z ← X 0 ; n : un entier positif ; h ← (T − t 0 )/n
itération : pour k de 1 à n, faire
P ← F (t, Z) ; s ← t + h ; Y ← Z + hF (t, Z) ; Q = F (s, Y )
Z ← Z + (h/2)(P + Q)
t ← s
fin : Z est une approximation de X(T ) : il y a une constante a telle que
X(T ) − Z a
n
2
pour tout n assez grand.
Il existe bien d’autres méthodes numériques plus précises pour estimer la valeur numérique d’une solution d’équation différentielle, mais les calculs sont plus coûteux.
Application au tracé d'une courbe d'équation f (x, y) = 0
Soit f une fonction de deux variables réelles, à dérivées partielles continues, et soit
(C) la courbe d’équation f (x,y) = 0. Supposons qu’on connaisse un point A = (x 0 ,y 0 )
sur (C). D’après le théorème des fonctions implicites, on peut paramétrer la courbe
(C) au voisinage de A, en prenant par exemple x comme paramètre si la dérivée partielle
∂f
∂y
n’est pas nulle en A. Il y a ainsi une fonction y(x) telle que f
x, y(x)
= 0
pour tout x. En dérivant, on obtient
∂f
∂x
+
∂f
∂y
dy
dx
= 0 en tout point de (C).
Ainsi y(x) est la solution de l’équation différentielle (où la variable est x)
y
= −
∂f
∂x
(x, y)
∂f
∂y
(x, y)
, avec condition initiale y(x 0 ) = y 0 .
En utilisant une méthode numérique, on peut calculer une valeur approchée de y(x)
et en traçant le graphe de cette fonction, on obtient l’allure d’un morceau de la
courbe (C). S’il y a sur la courbe des points où
∂f
∂y
= 0, l’équation différentielle
520 – UNE M ´
ETHODE DE R ´
ESOLUTION NUM ´
ERIQUE
en posant z 0 = x 0 et
z k+1 = z k + h
2
F (t k , z k ) + F
t k+1 , z k + hF (t k , z k )
pour k = 0, 1, . . . , n−1.
Par suite de l’accumulation des erreurs, l’écart final |x(T ) − z n | est seulement, pour
|h| assez petit, de l’ordre de h
2 .
Algorithme de la moyenne pente
L’algorithme suivant calcule une approximation de X(T ), où X est la solution du
système différentiel X
= F (t, X) ayant pour condition initiale X(t 0 ) = X 0 .
initialisations :
t ← t 0 ; Z ← X 0 ; n : un entier positif ; h ← (T − t 0 )/n
itération : pour k de 1 à n, faire
P ← F (t, Z) ; s ← t + h ; Y ← Z + hF (t, Z) ; Q = F (s, Y )
Z ← Z + (h/2)(P + Q)
t ← s
fin : Z est une approximation de X(T ) : il y a une constante a telle que
X(T ) − Z a
n
2
pour tout n assez grand.
Il existe bien d’autres méthodes numériques plus précises pour estimer la valeur numérique d’une solution d’équation différentielle, mais les calculs sont plus coûteux.
Application au tracé d'une courbe d'équation f (x, y) = 0
Soit f une fonction de deux variables réelles, à dérivées partielles continues, et soit
(C) la courbe d’équation f (x,y) = 0. Supposons qu’on connaisse un point A = (x 0 ,y 0 )
sur (C). D’après le théorème des fonctions implicites, on peut paramétrer la courbe
(C) au voisinage de A, en prenant par exemple x comme paramètre si la dérivée partielle
∂f
∂y
n’est pas nulle en A. Il y a ainsi une fonction y(x) telle que f
x, y(x)
= 0
pour tout x. En dérivant, on obtient
∂f
∂x
+
∂f
∂y
dy
dx
= 0 en tout point de (C).
Ainsi y(x) est la solution de l’équation différentielle (où la variable est x)
y
= −
∂f
∂x
(x, y)
∂f
∂y
(x, y)
, avec condition initiale y(x 0 ) = y 0 .
En utilisant une méthode numérique, on peut calculer une valeur approchée de y(x)
et en traçant le graphe de cette fonction, on obtient l’allure d’un morceau de la
courbe (C). S’il y a sur la courbe des points où
∂f
∂y
= 0, l’équation différentielle
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