où r(h) désigne une quantité vectorielle dont la norme est négligeable devant h
quand h tend vers 0.
En posant Y 1 = X 0 + hF (t 0 , X 0 ) on obtient donc une approximation de X(t 1 ). En t 1 ,
la dérivée X
(t 1 ) = F
t 1 , X(t 1 )
est en général différente de F
t 1 , Y 1 ), mais pour |h|
petit, elle est peu différente : puisque X(t 2 )=X(t 1 +h)=X(t 1 )+hF
t 1 ,X(t 1 )
+r 1 (h)
avec r 1 (h)
h→0
h, on prend comme valeur approchée de X(t 2 ) la quantité Y 2 =
Y 1 + hF (t 1 , Y 1 ). Continuant ainsi, on pose Y 0 = X 0 ,
Y 1 = Y 0 + hF (t 0 , Y 0 ) , . . . , Y k+1 = Y k + hF (t k , Y k ) , . . . , Y n = Y n−1 + hF (t n−1 , Y n−1 )
et Y n est une valeur approchée de X(T ). Pour |h| assez petit, l’accumulation des
erreurs conduit à une erreur finale X(T ) − Y n de l’ordre de |h|.
Voici une autre méthode numérique, inspirée de la méthode d’Euler, mais un peu
plus précise et dont l’implémentation reste simple.
La méthode de la moyenne pente
p e n te p
p e n t e
q
p e n t e
m
z 1 = x 0 + hm
y 1 = x 0
x 0
+ hp
t 1 = t 0
t 0
+ h x
y
Expliquons-la dans le cas d’une équation numérique x
= F (t, x) : la solution x(t)
est donc une fonction à valeurs réelles. En t 0 ,
la pente de la solution est p = F (t 0 , x 0 ) et en
t 1 , la pente vaut à peu près q = F (t 1 ,y 1 ), avec
y 1 = x 0 + hp. Formons la moyenne m =
p + q
2
des pentes et utilisons m pour estimer une
valeur z 1 de x(t 1 ), en posant
z 1 = x 0 + hm
On a
q = F (t 0 + h, x 0 + hp) = F (t 0 , x 0 ) + h ∂F
∂t
(t 0 , x 0 ) + hp ∂F
∂x
(t 0 , x 0 ) + ρ(h
2 )
en notant ρ(h
2 ) une quantité de l’ordre de h
2 quand |h| est assez petit. Il vient
(1)
z 1 = x 0 + h 1
2
p + p + h ∂F
∂t
(t 0 , x 0 ) + hp ∂F
∂x
(t 0 , x 0 )
+ ρ(h
3 )
= x 0 + hp + h
2
2
∂F
∂t
+ p ∂F
∂x
(t 0 , x 0 ) + ρ(h
3 )
On a aussi le développement limité
x(t 1 ) = x(t 0 + h) = x 0 + hp + h
2
2
∂
2 x
∂t
2
(t 0 ) + ρ(h
3 )
Puisque
∂
2 x
∂t
2
= ∂
∂t
F
t, x(t)
= ∂F
∂t
t, x(t)
+ ∂F
∂x
t, x(t)
x
(t)
on obtient ∂
2 x
∂t
2
(t 0 ) =
∂F
∂t
+ p ∂F
∂x
(t 0 , x 0 ) et
(2)
x(t 1 ) = x 0 + hp + h
2
2
∂F
∂t
+ p ∂F
∂x
(t 0 , x 0 ) + ρ(h
3 )
En comparant (1) et (2), on voit que l’écart |x(t 1 ) − z 1 | est de l’ordre de |h|
3 .
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 519