Étude au point d'équilibre A 0
® Si a
2 > 4
√
1−b 2 , le discriminant de P est positif, donc les valeurs propres sont
réelles, de produit cos θ 0 > 0 ; elles sont de même signe, celui de leur somme
−a < 0 : les deux valeurs propres sont négatives et par conséquent, les trajectoires
tendent vers l’équilibre A 0 (figure 6).
® Si a
2 < 4
√
1−b 2 , les racines de P sont complexes conjuguées de partie réelle
−a/2 < 0 : autour de l’équilibre A 0 , les trajectoires sont des spirales tendant vers
A 0 (figure 7).
θ
1
0
v
A 1
π
A 0
figure 7
θ
v
figure 8
Sur les trajectoires qui tendent vers l’équilibre A 0 ,
le moteur « ne fonctionne pas ». Dans certains cas,
il n’existe même aucune trajectoire fermée dans le
cylindre des phases.
On peut montrer que si a n’est pas trop grand, il
existe encore une solution périodique en θ (figure
8). Dans le cylindre des phases, on obtient à nouveau un cycle limite représentant pour le moteur
un régime stable.
7. Une méthode de résolution numérique
Considérons un système différentiel général X
= F (t, X) et la solution X(t) de
condition initiale X(t 0 ) = X 0 . On cherche à calculer une approximation numérique
du vecteur X(T ), valeur à l’instant T de la solution.
La méthode d'Euler. Subdivisons l’intervalle d’extrémités t 0 et T en n segments
de longueur |h|, où h = (T − t 0 )/n : on introduit donc les points
t 0 , t 1 = t 0 + h , t 2 = t 0 + 2h , . . . , t n = t 0 + nh = T
En t 0 , on a X(t 0 ) = X 0 et X
(t 0 ) = F (t 0 , X 0 ), donc il vient
X(t 1 ) = X(t 0 + h) = X 0 + hF (t 0 , X 0 ) + r(h)
518 – UNE M ´
ETHODE DE R ´
ESOLUTION NUM ´
ERIQUE
® Si a
2 > 4
√
1−b 2 , le discriminant de P est positif, donc les valeurs propres sont
réelles, de produit cos θ 0 > 0 ; elles sont de même signe, celui de leur somme
−a < 0 : les deux valeurs propres sont négatives et par conséquent, les trajectoires
tendent vers l’équilibre A 0 (figure 6).
® Si a
2 < 4
√
1−b 2 , les racines de P sont complexes conjuguées de partie réelle
−a/2 < 0 : autour de l’équilibre A 0 , les trajectoires sont des spirales tendant vers
A 0 (figure 7).
θ
1
0
v
A 1
π
A 0
figure 7
θ
v
figure 8
Sur les trajectoires qui tendent vers l’équilibre A 0 ,
le moteur « ne fonctionne pas ». Dans certains cas,
il n’existe même aucune trajectoire fermée dans le
cylindre des phases.
On peut montrer que si a n’est pas trop grand, il
existe encore une solution périodique en θ (figure
8). Dans le cylindre des phases, on obtient à nouveau un cycle limite représentant pour le moteur
un régime stable.
7. Une méthode de résolution numérique
Considérons un système différentiel général X
= F (t, X) et la solution X(t) de
condition initiale X(t 0 ) = X 0 . On cherche à calculer une approximation numérique
du vecteur X(T ), valeur à l’instant T de la solution.
La méthode d'Euler. Subdivisons l’intervalle d’extrémités t 0 et T en n segments
de longueur |h|, où h = (T − t 0 )/n : on introduit donc les points
t 0 , t 1 = t 0 + h , t 2 = t 0 + 2h , . . . , t n = t 0 + nh = T
En t 0 , on a X(t 0 ) = X 0 et X
(t 0 ) = F (t 0 , X 0 ), donc il vient
X(t 1 ) = X(t 0 + h) = X 0 + hF (t 0 , X 0 ) + r(h)
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