Le cylindre des phases.
θ
0
v
2π
π
γ
figure 5
Il est commode de visualiser le mouvement dans le
cylindre des phases construit de la manière suivante :
® enroulons sur lui-même le plan des phases (θ,v) pour en faire
un rouleau cylindrique (comme avec une feuille de papier),
de manière que l’axe des θ se transforme en un cercle de
périmètre 2π et l’axe des v en une génératrice du cylindre.
Cette opération identifie des points (θ, v) et (θ + 2π, v) correspondant à la même vitesse et à des abscisses qui diffèrent de
2π : dans le cylindre des phases, l’abscisse parcourt un cercle
de longueur 2π. Les trajectoires de (2) se transforment en des
courbes tracées sur le cylindre, ce qui rend bien compte du
mouvement puisque, dans une rotation, θ se compte modulo
2π. La trajectoire correspondant à la solution périodique v
∗ devient une courbe fermée γ faisant le tour du cylindre : c’est un
cycle de fonctionnement régulier du moteur (figure 5).
Sur le cylindre, les trajectoires tendent vers ce cycle limite : cela
signifie que le moteur tend vers ce régime de rotation stable.
Étude des équilibres dans le cas 0 < b < 1
Pour le système (2), la matrice jacobienne en un point (θ, v) est J =
0
1
cos θ −a
, de
polynôme caractéristique P = z
2 + az + cos θ. Au point d’équilibre A 0 = (θ 0 , 0), on
a cos θ 0 =
√
1−b 2 ; au point A 1 = (π − θ 0 , 0), on a cos θ 1 = cos(π−θ 0 ) = −
√
1−b 2 .
Étude au point d'équilibre A 1 . Au point A 1 , les valeurs propres sont réelles
de signes contraires, car leur produit est cos θ 1 < 0 : le point A 1 est un équilibre
hyperbolique (équilibre de droite sur les figures 6 et 7).
A
A
v
θ
0
0
π
1
figure 6
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 517
θ
0
v
2π
π
γ
figure 5
Il est commode de visualiser le mouvement dans le
cylindre des phases construit de la manière suivante :
® enroulons sur lui-même le plan des phases (θ,v) pour en faire
un rouleau cylindrique (comme avec une feuille de papier),
de manière que l’axe des θ se transforme en un cercle de
périmètre 2π et l’axe des v en une génératrice du cylindre.
Cette opération identifie des points (θ, v) et (θ + 2π, v) correspondant à la même vitesse et à des abscisses qui diffèrent de
2π : dans le cylindre des phases, l’abscisse parcourt un cercle
de longueur 2π. Les trajectoires de (2) se transforment en des
courbes tracées sur le cylindre, ce qui rend bien compte du
mouvement puisque, dans une rotation, θ se compte modulo
2π. La trajectoire correspondant à la solution périodique v
∗ devient une courbe fermée γ faisant le tour du cylindre : c’est un
cycle de fonctionnement régulier du moteur (figure 5).
Sur le cylindre, les trajectoires tendent vers ce cycle limite : cela
signifie que le moteur tend vers ce régime de rotation stable.
Étude des équilibres dans le cas 0 < b < 1
Pour le système (2), la matrice jacobienne en un point (θ, v) est J =
0
1
cos θ −a
, de
polynôme caractéristique P = z
2 + az + cos θ. Au point d’équilibre A 0 = (θ 0 , 0), on
a cos θ 0 =
√
1−b 2 ; au point A 1 = (π − θ 0 , 0), on a cos θ 1 = cos(π−θ 0 ) = −
√
1−b 2 .
Étude au point d'équilibre A 1 . Au point A 1 , les valeurs propres sont réelles
de signes contraires, car leur produit est cos θ 1 < 0 : le point A 1 est un équilibre
hyperbolique (équilibre de droite sur les figures 6 et 7).
A
A
v
θ
0
0
π
1
figure 6
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 517