Rappelons que les solutions v(θ) de (1
) sont décroissantes dans leur partie située
au dessus de l’isocline v =
b − sin θ
a
et qu’elles sont croissantes dans leur partie située
entre l’isocline et l’axe des abscisses (figure 1).
Considérons des solutions v(θ) telles que v(π/2) = v 0 > 0. Nous allons voir que si
v 0 est assez grand, alors on a v(π/2 + 2π) < v 0 et que si v 0 est assez petit, on a au
contraire v(π/2 + 2π) > v 0 .
® Supposons v 0 >
b + 1
a
. Si la solution reste constamment au dessus de l’isocline pour
π/2 θ π/2 + 2π = 5π/2, elle décroît et l’on a v(5π/2) < v 0 . Sinon, la solution
passe sous l’isocline, devient croissante, franchit à nouveau l’isocline, puis décroît
jusqu’à l’abscisse 5π/2 (figure 3) ; dans ce cas, v(θ) n’a pu dépasser le maximum
de l’isocline qui a pour valeur (b + 1)/a : on a donc encore v(5π/2) < v 0 .
®
θ
v
π/2
5 π/2
figure 3
Supposons 0 < v 0 <
b − 1
a
. La solution commence par
croître puis franchit l’isocline ; dès lors, la solution
reste au dessus de l’isocline jusqu’à θ = 5π/2, car
le champ de direction le long de l’isocline est horizontal (figure 3). Par suite, v(5π/2) est supérieur au
minimum (b − 1)/a de l’isocline, donc v(5π/2) > v 0 .
Puisque les solutions de (1
) dépendent continûment de leur condition initiale, il
doit exister une valeur de v 0 pour laquelle v(5π/2) = v 0 .
figure 4
En effet, considérons la fonction qui à une valeur v 0 > 0 associe la différence
ϕ(v 0 ) = v(5π/2) − v 0 , où v est la solution telle que v(π/2) = v 0 . La fonction ϕ, différence de deux fonctions continues, est continue sur ]0,+∞[. On vient de montrer que
ϕ(v 0 ) est négatif si v 0 est assez grand et positif si v 0 est assez petit. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc une valeur v
∗
0 telle que ϕ(v
∗
0 ) = 0. Pour
la solution θ → v
∗ (θ) telle que v
∗ (π/2) = v
∗
0 , on a ainsi v
∗ (π/2) = v
∗ (5π/2). Le second
membre de (1
) étant périodique de période 2π en θ, la fonction w(θ) = v
∗ (θ + 2π)
est solution et comme on a w(π/2) = v
∗ (π/2), on en déduit w(θ) = v
∗ (θ) quel que
soit θ : autrement dit, la solution v
∗ est périodique de période 2π.
Dans le mouvement correspondant, le rotor revient dans la même position et à la même
vitesse après un tour, donc la rotation se poursuit à l’identique. Cette solution est indiquée
sur la figure 3. La figure 4 montre plusieurs
trajectoires : on voit qu’elles se rapprochent de
la solution périodique quand θ devient grand.
516 – ´
ETUDE DU MOTEUR ´
ELECTRIQUE
) sont décroissantes dans leur partie située
au dessus de l’isocline v =
b − sin θ
a
et qu’elles sont croissantes dans leur partie située
entre l’isocline et l’axe des abscisses (figure 1).
Considérons des solutions v(θ) telles que v(π/2) = v 0 > 0. Nous allons voir que si
v 0 est assez grand, alors on a v(π/2 + 2π) < v 0 et que si v 0 est assez petit, on a au
contraire v(π/2 + 2π) > v 0 .
® Supposons v 0 >
b + 1
a
. Si la solution reste constamment au dessus de l’isocline pour
π/2 θ π/2 + 2π = 5π/2, elle décroît et l’on a v(5π/2) < v 0 . Sinon, la solution
passe sous l’isocline, devient croissante, franchit à nouveau l’isocline, puis décroît
jusqu’à l’abscisse 5π/2 (figure 3) ; dans ce cas, v(θ) n’a pu dépasser le maximum
de l’isocline qui a pour valeur (b + 1)/a : on a donc encore v(5π/2) < v 0 .
®
θ
v
π/2
5 π/2
figure 3
Supposons 0 < v 0 <
b − 1
a
. La solution commence par
croître puis franchit l’isocline ; dès lors, la solution
reste au dessus de l’isocline jusqu’à θ = 5π/2, car
le champ de direction le long de l’isocline est horizontal (figure 3). Par suite, v(5π/2) est supérieur au
minimum (b − 1)/a de l’isocline, donc v(5π/2) > v 0 .
Puisque les solutions de (1
) dépendent continûment de leur condition initiale, il
doit exister une valeur de v 0 pour laquelle v(5π/2) = v 0 .
figure 4
En effet, considérons la fonction qui à une valeur v 0 > 0 associe la différence
ϕ(v 0 ) = v(5π/2) − v 0 , où v est la solution telle que v(π/2) = v 0 . La fonction ϕ, différence de deux fonctions continues, est continue sur ]0,+∞[. On vient de montrer que
ϕ(v 0 ) est négatif si v 0 est assez grand et positif si v 0 est assez petit. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc une valeur v
∗
0 telle que ϕ(v
∗
0 ) = 0. Pour
la solution θ → v
∗ (θ) telle que v
∗ (π/2) = v
∗
0 , on a ainsi v
∗ (π/2) = v
∗ (5π/2). Le second
membre de (1
) étant périodique de période 2π en θ, la fonction w(θ) = v
∗ (θ + 2π)
est solution et comme on a w(π/2) = v
∗ (π/2), on en déduit w(θ) = v
∗ (θ) quel que
soit θ : autrement dit, la solution v
∗ est périodique de période 2π.
Dans le mouvement correspondant, le rotor revient dans la même position et à la même
vitesse après un tour, donc la rotation se poursuit à l’identique. Cette solution est indiquée
sur la figure 3. La figure 4 montre plusieurs
trajectoires : on voit qu’elles se rapprochent de
la solution périodique quand θ devient grand.
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