Si l’on considère v comme fonction de θ, alors dv
dθ
= ˙
v
˙
θ
= ˙
v
v
et le système (2) s’écrit
(1
)
v dv
dθ
= −av − sin θ + b
Le graphe d’une solution de (1') définit une trajectoire de (2) dans le plan des phases
(θ,v). L’isocline pour la pente 0, lieu des points (θ,v) où dv
dθ
= 0, est la courbe d’équation v =
b − sin θ
a
. À un changement d’unité près, celle-ci s’obtient en translatant de
b le graphe de θ → − sin θ le long de l’axe v (figures 1 et 2).
® Si b > 1, l’isocline reste au dessus de l’axe des abscisses. On a dv
dθ
> 0 entre cet
axe et l’isocline, et dv
dθ
< 0 ailleurs ;
® Si 0 < b < 1, l’isocline coupe l’axe des abscisses : il y a un nombre θ 0 tel que
0<θ 0 <π/2 et sinθ 0 =b. Entre 0 et 2π, les abscisses d’intersection sont θ 0 et θ 1 =π−θ 0 .
On a encore dv
dθ
> 0 entre l’axe des abscisses et l’isocline et l’on a dv
dθ
< 0 ailleurs.
θ
v dv
dθ
< 0
dv
dθ
> 0
figure 1
v
θ
dv
dθ
> 0
dv
dθ
< 0
figure 2
Puisque ˙
θ = v, le sens de parcours sur une trajectoire est celui pour lequel θ est
croissant dans le demi-plan v > 0, décroissant dans le demi-plan v < 0.
Le second membre de (1
) est périodique de période 2π en θ. Il en résulte que si
θ → v(θ) est une solution, alors θ → v(θ + 2π) est aussi solution.
Les équilibres
Il sont définis par v = 0 = −av − sin θ + b : ce sont donc les points où l’isocline
précédente coupe l’axe des abscisses. Si b > 1, il n’y a pas d’équilibre. Si 0 < b < 1,
il y a deux équilibres dans la bande 0 < θ < 2π : les points A 0 = (θ 0 , 0) et A 1 (θ 1 , 0),
situés symétriquement par rapport à l’abscisse π/2.
Si une trajectoire coupe l’isocline ailleurs qu’en un point d’équilibre, elle le fait avec
une tangente horizontale ; si une trajectoire coupe l’axe des abscisses, la tangente en
ce point est verticale.
Étude dans le cas b > 1
Il n’y a pas d’équilibre, mais nous allons montrer que l’équation différentielle (1
)
possède une solution θ → v(θ) périodique de période 2π. Cela correspond à un mouvement périodique puisqu’à chaque tour de moteur, la vitesse de rotation revient à
sa valeur initiale (mais la rotation n’est pas uniforme).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 515
dθ
= ˙
v
˙
θ
= ˙
v
v
et le système (2) s’écrit
(1
)
v dv
dθ
= −av − sin θ + b
Le graphe d’une solution de (1') définit une trajectoire de (2) dans le plan des phases
(θ,v). L’isocline pour la pente 0, lieu des points (θ,v) où dv
dθ
= 0, est la courbe d’équation v =
b − sin θ
a
. À un changement d’unité près, celle-ci s’obtient en translatant de
b le graphe de θ → − sin θ le long de l’axe v (figures 1 et 2).
® Si b > 1, l’isocline reste au dessus de l’axe des abscisses. On a dv
dθ
> 0 entre cet
axe et l’isocline, et dv
dθ
< 0 ailleurs ;
® Si 0 < b < 1, l’isocline coupe l’axe des abscisses : il y a un nombre θ 0 tel que
0<θ 0 <π/2 et sinθ 0 =b. Entre 0 et 2π, les abscisses d’intersection sont θ 0 et θ 1 =π−θ 0 .
On a encore dv
dθ
> 0 entre l’axe des abscisses et l’isocline et l’on a dv
dθ
< 0 ailleurs.
θ
v dv
dθ
< 0
dv
dθ
> 0
figure 1
v
θ
dv
dθ
> 0
dv
dθ
< 0
figure 2
Puisque ˙
θ = v, le sens de parcours sur une trajectoire est celui pour lequel θ est
croissant dans le demi-plan v > 0, décroissant dans le demi-plan v < 0.
Le second membre de (1
) est périodique de période 2π en θ. Il en résulte que si
θ → v(θ) est une solution, alors θ → v(θ + 2π) est aussi solution.
Les équilibres
Il sont définis par v = 0 = −av − sin θ + b : ce sont donc les points où l’isocline
précédente coupe l’axe des abscisses. Si b > 1, il n’y a pas d’équilibre. Si 0 < b < 1,
il y a deux équilibres dans la bande 0 < θ < 2π : les points A 0 = (θ 0 , 0) et A 1 (θ 1 , 0),
situés symétriquement par rapport à l’abscisse π/2.
Si une trajectoire coupe l’isocline ailleurs qu’en un point d’équilibre, elle le fait avec
une tangente horizontale ; si une trajectoire coupe l’axe des abscisses, la tangente en
ce point est verticale.
Étude dans le cas b > 1
Il n’y a pas d’équilibre, mais nous allons montrer que l’équation différentielle (1
)
possède une solution θ → v(θ) périodique de période 2π. Cela correspond à un mouvement périodique puisqu’à chaque tour de moteur, la vitesse de rotation revient à
sa valeur initiale (mais la rotation n’est pas uniforme).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 515