solution a un point dans (II) à un instant t 0 , elle y reste donc pour tout t t 0
et par suite tend vers l’origine.
® Toute solution issue d’un point de (I) ou d’un point de (III) pénètre nécessairement
dans (II) et donc tend vers l’origine.
Conclusion : Si
b 1 c 1
a 2
b 2 c 2
a 1
< 1, le nombre de sujets infectés tend vers zéro quand
t tend vers l’infini : l’épidémie s’arrête.
Le rapport b 2 c 2 /a 1 est le nombre moyen de femmes contactées par un homme infecté et en cours de traitement ; on a une interprétation analogue du rapport b 1 c 1 /a 2 .
Ces nombres sont des « taux de contact ». On est amené, en pratique, à partager une
population donnée en différentes classes ayant chacune leurs taux de contacts.
6. Étude du moteur électrique
Un moteur électrique se compose essentiellement de deux parties : d’une part un
électro-aimant fixe, appelé stator ; d’autre part, une partie mobile, le rotor, situé dans
le champ du stator. Le rotor est constitué d’un cylindre porté par l’arbre du moteur
et solidaire de bobines alimentées en courant par le collecteur (des bandes latérales
isolées les unes des autres sur la paroi du cylindre) au moyen de deux contacts
latéraux (les balais).
Les champs magnétiques dans le stator et le rotor tendent à s’aligner : par une habile disposition géométrique des bobinages, on exploite cette propriété de manière à
produire un couple moteur sur l’axe du rotor.
Notons θ l’angle entre les champs magnétiques du stator et du rotor. Le couple
moteur est une fonction périodique f (θ) et l’induction électromagnétique crée aussi
sur l’axe un couple résistant de moment proportionnel à la vitesse angulaire, donc
de la forme k ˙
θ. En supposant que le couple de charge M est constant, l’équation
du mouvement s’écrit
I ¨
θ = M − k ˙
θ − f (θ)
où I est le moment d’inertie du rotor par rapport à son axe et k une constante positive. En première approximation, la fonction f est sinusoïdale, de la forme m sin θ,
avec m > 0. Finalement, l’équation est du type
(1)
¨
θ = −a ˙
θ − sin θ + b
où les constantes a et b sont positives. Nous supposons a > 0 (dans le cas limite
a = 0, (1) est une équation de Newton et l’étude se fait comme au chapitre 15).
En posant v = ˙
θ, on obtient le système différentiel autonome
(2)
˙
θ = v
˙
v = − sin θ − av + b
514 – ´
ETUDE DU MOTEUR ´
ELECTRIQUE
et par suite tend vers l’origine.
® Toute solution issue d’un point de (I) ou d’un point de (III) pénètre nécessairement
dans (II) et donc tend vers l’origine.
Conclusion : Si
b 1 c 1
a 2
b 2 c 2
a 1
< 1, le nombre de sujets infectés tend vers zéro quand
t tend vers l’infini : l’épidémie s’arrête.
Le rapport b 2 c 2 /a 1 est le nombre moyen de femmes contactées par un homme infecté et en cours de traitement ; on a une interprétation analogue du rapport b 1 c 1 /a 2 .
Ces nombres sont des « taux de contact ». On est amené, en pratique, à partager une
population donnée en différentes classes ayant chacune leurs taux de contacts.
6. Étude du moteur électrique
Un moteur électrique se compose essentiellement de deux parties : d’une part un
électro-aimant fixe, appelé stator ; d’autre part, une partie mobile, le rotor, situé dans
le champ du stator. Le rotor est constitué d’un cylindre porté par l’arbre du moteur
et solidaire de bobines alimentées en courant par le collecteur (des bandes latérales
isolées les unes des autres sur la paroi du cylindre) au moyen de deux contacts
latéraux (les balais).
Les champs magnétiques dans le stator et le rotor tendent à s’aligner : par une habile disposition géométrique des bobinages, on exploite cette propriété de manière à
produire un couple moteur sur l’axe du rotor.
Notons θ l’angle entre les champs magnétiques du stator et du rotor. Le couple
moteur est une fonction périodique f (θ) et l’induction électromagnétique crée aussi
sur l’axe un couple résistant de moment proportionnel à la vitesse angulaire, donc
de la forme k ˙
θ. En supposant que le couple de charge M est constant, l’équation
du mouvement s’écrit
I ¨
θ = M − k ˙
θ − f (θ)
où I est le moment d’inertie du rotor par rapport à son axe et k une constante positive. En première approximation, la fonction f est sinusoïdale, de la forme m sin θ,
avec m > 0. Finalement, l’équation est du type
(1)
¨
θ = −a ˙
θ − sin θ + b
où les constantes a et b sont positives. Nous supposons a > 0 (dans le cas limite
a = 0, (1) est une équation de Newton et l’étude se fait comme au chapitre 15).
En posant v = ˙
θ, on obtient le système différentiel autonome
(2)
˙
θ = v
˙
v = − sin θ − av + b
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ELECTRIQUE