Cas a 1 a 2 < b 1 b 2 c 1 c 2
v
h
III
II
I
IV
E
x
y
c 2
c 1
Il y a quatre régions et la figure ci-contre montre dans
chacune d’elles la direction du champ. Par exemple, dans
la région (I), on a v(x) < y < h(x), donc ˙
x > 0 et ˙
y > 0 ;
dans la région (II), on a y
˙
y > 0. On en déduit le sens de variation des trajectoires.
® Considérons une solution qui a un point dans la région (I) à un certain instant t 0 . Comme le champ est
horizontal le long du bord supérieur de (I) et que la solution progresse dans le
sens x et y croissants, la solution ne peut pas s’échapper de (I) par en haut ;
de même, le champ étant vertical le long du bord inférieur, la solution ne peut
s’échapper par en bas. Ainsi, la solution reste dans (I) pour tout t t 0 :
la région (I) est une zone piège.
On en déduit qu’une solution qui a pénétré dans (I) tend vers l’équilibre E
quand t tend vers +∞.
® De même, la région (III) est une zone piège : toute solution qui a pénétré dans
(III) y reste ultérieurement et donc tend vers E .
® Considérons une solution X(t) =
x(t), y(t)
de point initial dans (II). Tant que
X(t) est dans (II), x décroît et y croit : X(t) doit donc pénétrer dans l’une
des régions (I) ou (III) et dès lors, X(t) tend vers E quand t tend vers l’infini.
La seule exception concerne le cas où X(t) tend directement vers E en restant
dans la région (II).
® De même, une solution initialement dans (IV) doit pénétrer dans (I) ou dans
(III), à moins qu’elle ne tende vers E en restant dans (IV) ; en tous cas, cette
solution tend vers E .
Ainsi toutes les solutions tendent vers E quand t tend vers l’infini. L’équilibre E
est asymptotiquement stable.
Pour calculer les coordonnées α, β de E , on résout l’équation v(x) = h(x) et l’on
a β = h(α) = v(α).
Conclusion : Si
b 1 c 1
a 2
b 2 c 2
a 1
> 1, le nombre d’hommes infectés tend vers α et le
nombre de femmes infectées vers β . L’épidémie prend un régime stationnaire.
Cas a 1 a 2 > b 1 b 2 c 1 c 2
v
h
III
II
I
x
y
c 2
c 1
Il y a trois régions et dans chacune d’elles, le champ a la direction indiquée ci-contre.
Par exemple, dans la région (II), on a h(x) < y < v(x),
donc ˙
x et ˙
y sont négatifs ; dans la région (III), y < h(x)
donc ˙
x < 0 et ˙
y > 0.
® La région (II) est un piège : dans cette zone, x et y
décroissent, donc la solution ne peut s’en échapper
ni par en haut (champ vertical sur la frontière), ni
par en bas (champ horizontal sur la frontière). Si une
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 513
v
h
III
II
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IV
E
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c 2
c 1
Il y a quatre régions et la figure ci-contre montre dans
chacune d’elles la direction du champ. Par exemple, dans
la région (I), on a v(x) < y < h(x), donc ˙
x > 0 et ˙
y > 0 ;
dans la région (II), on a y
˙
y > 0. On en déduit le sens de variation des trajectoires.
® Considérons une solution qui a un point dans la région (I) à un certain instant t 0 . Comme le champ est
horizontal le long du bord supérieur de (I) et que la solution progresse dans le
sens x et y croissants, la solution ne peut pas s’échapper de (I) par en haut ;
de même, le champ étant vertical le long du bord inférieur, la solution ne peut
s’échapper par en bas. Ainsi, la solution reste dans (I) pour tout t t 0 :
la région (I) est une zone piège.
On en déduit qu’une solution qui a pénétré dans (I) tend vers l’équilibre E
quand t tend vers +∞.
® De même, la région (III) est une zone piège : toute solution qui a pénétré dans
(III) y reste ultérieurement et donc tend vers E .
® Considérons une solution X(t) =
x(t), y(t)
de point initial dans (II). Tant que
X(t) est dans (II), x décroît et y croit : X(t) doit donc pénétrer dans l’une
des régions (I) ou (III) et dès lors, X(t) tend vers E quand t tend vers l’infini.
La seule exception concerne le cas où X(t) tend directement vers E en restant
dans la région (II).
® De même, une solution initialement dans (IV) doit pénétrer dans (I) ou dans
(III), à moins qu’elle ne tende vers E en restant dans (IV) ; en tous cas, cette
solution tend vers E .
Ainsi toutes les solutions tendent vers E quand t tend vers l’infini. L’équilibre E
est asymptotiquement stable.
Pour calculer les coordonnées α, β de E , on résout l’équation v(x) = h(x) et l’on
a β = h(α) = v(α).
Conclusion : Si
b 1 c 1
a 2
b 2 c 2
a 1
> 1, le nombre d’hommes infectés tend vers α et le
nombre de femmes infectées vers β . L’épidémie prend un régime stationnaire.
Cas a 1 a 2 > b 1 b 2 c 1 c 2
v
h
III
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I
x
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c 2
c 1
Il y a trois régions et dans chacune d’elles, le champ a la direction indiquée ci-contre.
Par exemple, dans la région (II), on a h(x) < y < v(x),
donc ˙
x et ˙
y sont négatifs ; dans la région (III), y < h(x)
donc ˙
x < 0 et ˙
y > 0.
® La région (II) est un piège : dans cette zone, x et y
décroissent, donc la solution ne peut s’en échapper
ni par en haut (champ vertical sur la frontière), ni
par en bas (champ horizontal sur la frontière). Si une
Chapitre 16 – SYST `
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