5. Un exemple de prévision en épidémiologie
Voici un exemple de modélisation pour une épidémie à durée d’incubation courte par
rapport au temps pendant lequel un sujet est contagieux ; ce modèle a été proposé initialement pour certains types de MST. On suppose la maladie non mortelle, la propagation se faisant dans un groupe constitué de c 1 hommes et de c 2 femmes. On considère
® des hommes infectés, soignés dans une proportion a 1 ;
® des femmes infectées, soignées dans une proportion a 2 : ces cas étant assez souvent
asymptomatiques, a 2 est petit devant a 1 ;
® un taux d’infection masculine proportionnel au nombre d’hommes sains et de
femmes infectées (coefficient b 1 ) ;
® un taux d’infection féminine proportionnel au nombre de femmes saines et
d’hommes infectés (coefficient b 2 ).
Notons x(t) le nombre d’hommes infectés et y(t) le nombre de femmes infectées.
Il y a donc c 1 − x(t) hommes et c 2 − y(t) femmes susceptibles de tomber malades.
Les équations s’écrivent
(1)
˙
x = −a 1 x + b 1 (c 1 −x)y
˙
y = −a 2 y + b 2 (c 2 −y)x
, où 0 < x(0) < c 1 et 0 < y(0) < c 2 .
Étudions le champ de vecteurs F (x, y) associé.
®
pente −a 2 /b 1 c 1
2 /a 1
pente −b 2 c
y
x
En un point de l’axe des y > 0, on a F (0, y) = (b 1 c 1 y , −a 2 y),
donc le champ pointe « en bas à droite ». En un point de l’axe
des x > 0, on a F (x, 0) = (−a 1 x , b 2 c 2 x) et le champ pointe
« en haut à gauche ».
® Cherchons les points (x,y) où le champ est vertical : on doit avoir −a 1 x+b 1 (c 1 −x)y=
0, d’où y =
a 1 x
b 1 (c 1 −x)
= v(x).
® Les points où le champ est horizontal vérifient −a 2 y + b 2 (c 2 −y)x = 0, d’où
y =
b 2 c 2 x
a 2 + b 2 x
= h(x).
Voici les graphes des fonctions v(x) et h(x) : selon la valeur des constantes, il y a
deux dispositions possibles pour ces courbes :
v
h
y
x
y
x
c 1
c 2
h
y
x
c 1
c 2
v
E
Figure 1
h
y
x
c 1
c 2
v
Figure 2
La figure 1 montre le cas a 1 a 2 < b 1 b 2 c 1 c 2 . Au point E d’intersection des courbes, on
a v(x) = h(x) = y, donc le champ est nul : E est un point d’équilibre.
La figure 2 correspond au cas a 1 a 2 > b 1 b 2 c 1 c 2 .
512 – UN EXEMPLE DE PR ´
EVISION EN ´
EPID ´
EMIOLOGIE
Voici un exemple de modélisation pour une épidémie à durée d’incubation courte par
rapport au temps pendant lequel un sujet est contagieux ; ce modèle a été proposé initialement pour certains types de MST. On suppose la maladie non mortelle, la propagation se faisant dans un groupe constitué de c 1 hommes et de c 2 femmes. On considère
® des hommes infectés, soignés dans une proportion a 1 ;
® des femmes infectées, soignées dans une proportion a 2 : ces cas étant assez souvent
asymptomatiques, a 2 est petit devant a 1 ;
® un taux d’infection masculine proportionnel au nombre d’hommes sains et de
femmes infectées (coefficient b 1 ) ;
® un taux d’infection féminine proportionnel au nombre de femmes saines et
d’hommes infectés (coefficient b 2 ).
Notons x(t) le nombre d’hommes infectés et y(t) le nombre de femmes infectées.
Il y a donc c 1 − x(t) hommes et c 2 − y(t) femmes susceptibles de tomber malades.
Les équations s’écrivent
(1)
˙
x = −a 1 x + b 1 (c 1 −x)y
˙
y = −a 2 y + b 2 (c 2 −y)x
, où 0 < x(0) < c 1 et 0 < y(0) < c 2 .
Étudions le champ de vecteurs F (x, y) associé.
®
pente −a 2 /b 1 c 1
2 /a 1
pente −b 2 c
y
x
En un point de l’axe des y > 0, on a F (0, y) = (b 1 c 1 y , −a 2 y),
donc le champ pointe « en bas à droite ». En un point de l’axe
des x > 0, on a F (x, 0) = (−a 1 x , b 2 c 2 x) et le champ pointe
« en haut à gauche ».
® Cherchons les points (x,y) où le champ est vertical : on doit avoir −a 1 x+b 1 (c 1 −x)y=
0, d’où y =
a 1 x
b 1 (c 1 −x)
= v(x).
® Les points où le champ est horizontal vérifient −a 2 y + b 2 (c 2 −y)x = 0, d’où
y =
b 2 c 2 x
a 2 + b 2 x
= h(x).
Voici les graphes des fonctions v(x) et h(x) : selon la valeur des constantes, il y a
deux dispositions possibles pour ces courbes :
v
h
y
x
y
x
c 1
c 2
h
y
x
c 1
c 2
v
E
Figure 1
h
y
x
c 1
c 2
v
Figure 2
La figure 1 montre le cas a 1 a 2 < b 1 b 2 c 1 c 2 . Au point E d’intersection des courbes, on
a v(x) = h(x) = y, donc le champ est nul : E est un point d’équilibre.
La figure 2 correspond au cas a 1 a 2 > b 1 b 2 c 1 c 2 .
512 – UN EXEMPLE DE PR ´
EVISION EN ´
EPID ´
EMIOLOGIE