4. Dépendance par rapport à la condition initiale
On est parfois intéressé par la manière dont une solution d’un système différentiel
X
= F (X) dépend de sa condition initiale. Pour tout vecteur a = [a 1 , . . . , a n ], notons
X(t, a) la solution de condition initiale X(0, a) = a, et posons
Y i (t, a) = ∂
∂a i
X(t, a)
Puisque X(0, a) = a pour tout a, on a Y i (0, a) = E i , le i-ème vecteur canonique.
Par définition ∂
∂t
X(t, a) = F
X(t, a)
, donc en dérivant par rapport à a i , il vient
∂
∂a i
∂
∂t
X(t, a) = J F
X(t, a)
∂
∂a i
X(t, a) = J F
X(t, a)
Y i (t, a)
où J F est la matrice jacobienne de F . Puisqu’on peut dériver dans l’ordre qu’on
veut, on en déduit
(1)
∂
∂t
Y i (t, a) = J F
X(t, a)
Y i (t, a)
La fonction t → Y i (t, a) est la solution du système
différentiel linéaire (1) telle que Y i (0) = E i .
En général, ce système n’est pas à coefficients constants, car la matrice J F
X(t, a)
dépend de t.
Remarque
Lorsque F a des dérivées partielles continues, les solutions du système différentiel
X
=F (X) ont ainsi des dérivées partielles par rapport aux coordonnées de la condition
initiale : les solutions dépendent donc continûment de leur condition initiale.
Cas où a est un équilibre. Supposons que la condition initiale a est un point
d’équilibre du système. Dans ce cas, on a X(t, a) = a pour tout t et le système
différentiel (1) devient simplement
∂
∂t
Y i (t, a) = J F (a)Y i (t, a)
C’est un système différentiel linéaire à coefficients constants, de matrice J F (a).
En calculant la solution Y i (t) telle que Y i (0) = E i , on trouve que pour un petit
accroissement δa i de la i-ème coordonnée de a, on a
X
t, (a 1 , . . . , a i +δa i , . . . , a n )
a + (δa i )Y i (t, E)
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 511
On est parfois intéressé par la manière dont une solution d’un système différentiel
X
= F (X) dépend de sa condition initiale. Pour tout vecteur a = [a 1 , . . . , a n ], notons
X(t, a) la solution de condition initiale X(0, a) = a, et posons
Y i (t, a) = ∂
∂a i
X(t, a)
Puisque X(0, a) = a pour tout a, on a Y i (0, a) = E i , le i-ème vecteur canonique.
Par définition ∂
∂t
X(t, a) = F
X(t, a)
, donc en dérivant par rapport à a i , il vient
∂
∂a i
∂
∂t
X(t, a) = J F
X(t, a)
∂
∂a i
X(t, a) = J F
X(t, a)
Y i (t, a)
où J F est la matrice jacobienne de F . Puisqu’on peut dériver dans l’ordre qu’on
veut, on en déduit
(1)
∂
∂t
Y i (t, a) = J F
X(t, a)
Y i (t, a)
La fonction t → Y i (t, a) est la solution du système
différentiel linéaire (1) telle que Y i (0) = E i .
En général, ce système n’est pas à coefficients constants, car la matrice J F
X(t, a)
dépend de t.
Remarque
Lorsque F a des dérivées partielles continues, les solutions du système différentiel
X
=F (X) ont ainsi des dérivées partielles par rapport aux coordonnées de la condition
initiale : les solutions dépendent donc continûment de leur condition initiale.
Cas où a est un équilibre. Supposons que la condition initiale a est un point
d’équilibre du système. Dans ce cas, on a X(t, a) = a pour tout t et le système
différentiel (1) devient simplement
∂
∂t
Y i (t, a) = J F (a)Y i (t, a)
C’est un système différentiel linéaire à coefficients constants, de matrice J F (a).
En calculant la solution Y i (t) telle que Y i (0) = E i , on trouve que pour un petit
accroissement δa i de la i-ème coordonnée de a, on a
X
t, (a 1 , . . . , a i +δa i , . . . , a n )
a + (δa i )Y i (t, E)
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 511